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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 (1º semestre) da UFG 2014

1º semestre · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Em uma escola de mergulho, situada em uma região ao nível do mar, existe um tanque para treinamento, preenchido completamente com água, cuja descida é feita por meio de uma rampa, como mostra a figura a seguir.

Corte transversal esquemático de um tanque de treinamento preenchido com água, contendo uma rampa de descida de comprimento 20 m inclinada com ângulo θ em relação ao fundo horizontal, formando um triângulo retângulo com o canto inferior esquerdo reto.

Sabendo-se que a pressão na região mais profunda é de 2{,}2\textit{ atm}, o valor da tangente do ângulo \theta é:

Dados:
\rho_{\text{água}} = 1\text{ g/cm}^3
1\textit{ atm} = 1 \times 10^5\text{ N/m}^2 e
\text{g} = 10\text{m/s}^2

  1. A
    3/5
  2. B
    3/4
  3. C
    10/11
  4. D
    4/3
  5. E
    5/3
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Resolução comentada

A pressão no fundo do tanque é a soma da pressão atmosférica com a pressão da coluna de água (teorema de Stevin): P = P_0 + \rho g h. A região está ao nível do mar, então P_0 = 1\ \text{atm}.

  1. A pressão total é 2{,}2\ \text{atm}, então a parte devida à água vale 2{,}2 - 1 = 1{,}2\ \text{atm} = 1{,}2\times10^5\ \text{N/m}^2.

  2. A densidade da água é 1\ \text{g/cm}^3 = 1000\ \text{kg/m}^3.

  3. Aplicando Stevin: 1{,}2\times10^5 = 1000\cdot 10\cdot h, logo h = 12\ \text{m}.

  4. A profundidade h é a altura do triângulo retângulo da figura, o cateto vertical. A rampa de 20\ \text{m} é a hipotenusa, e \theta é o ângulo no fundo, oposto a esse cateto. Então \sen\theta = 12/20 = 3/5.

  5. O cateto horizontal (adjacente a \theta) vale \sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16\ \text{m}. Portanto:

\tg\theta = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A (3/5) engana quem para no seno; a D (4/3) engana quem inverte a tangente.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÉ o seno de θ (12/20), não a tangente.
  • CVem de usar 2,2 atm e 1 atm de forma incorreta, sem relação com os catetos do triângulo.
  • DInverte a razão, calculando cateto adjacente sobre oposto (16/12).
  • ECorresponde a 20/12, hipotenusa sobre altura, que não é a tangente.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Unidades de medida e conversões.

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Ver como caiu na prova Questão 28 no caderno 1ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2014 · 1º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗