Questão 26 (1º semestre) da UFG 2012

Question

Uma tradicional competição entre 24 times sempre foi organizada em três fases. Na primeira fase, os times são divididos em seis grupos de quatro times, em que cada time joga uma vez contra cada time do mesmo grupo. O último colocado de cada grupo é eliminado. Os times restantes vão para a segunda fase, na qual não há divisão em grupos e todos os times se enfrentam, cada par uma única vez. Os dois times com maior pontuação na segunda fase enfrentam-se, na terceira fase, em uma partida final que define o campeão.

No próximo ano, os times passarão a ser divididos em quatro grupos de seis times, e os dois últimos colocados de cada grupo serão eliminados ao final da primeira fase. O restante da competição continuará como antes. Nessa nova organização,

A
o número de partidas da primeira fase diminuirá.
B
o número de partidas da segunda fase aumentará.
C
o número total de partidas da competição diminuirá.
D
o número de partidas que um time precisa disputar para sagrar-se campeão aumentará.
E
o número de times eliminados na primeira fase diminuirá.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 (1º semestre) da UFG 2012

1º semestre · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Uma tradicional competição entre 24 times sempre foi organizada em três fases. Na primeira fase, os times são divididos em seis grupos de quatro times, em que cada time joga uma vez contra cada time do mesmo grupo. O último colocado de cada grupo é eliminado. Os times restantes vão para a segunda fase, na qual não há divisão em grupos e todos os times se enfrentam, cada par uma única vez. Os dois times com maior pontuação na segunda fase enfrentam-se, na terceira fase, em uma partida final que define o campeão.

No próximo ano, os times passarão a ser divididos em quatro grupos de seis times, e os dois últimos colocados de cada grupo serão eliminados ao final da primeira fase. O restante da competição continuará como antes. Nessa nova organização,

A
o número de partidas da primeira fase diminuirá.
B
o número de partidas da segunda fase aumentará.
C
o número total de partidas da competição diminuirá.
D
o número de partidas que um time precisa disputar para sagrar-se campeão aumentará.
E
o número de times eliminados na primeira fase diminuirá.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Vamos contar as partidas de cada fase nas duas organizações. Em um grupo com n times, em que todos jogam contra todos uma vez, o número de jogos é \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.\n\nOrganização antiga\n\n1. Primeira fase: 6 grupos de 4 times, com \binom{4}{2}=6 jogos por grupo, dando 6\cdot 6=36 partidas.\n2. Eliminados: 6 times (um por grupo), restando 18.\n3. Segunda fase: \binom{18}{2}=153 partidas.\n4. Final: 1 partida.\n\nTotal: 36+153+1=190 partidas. Um time campeão joga 3 partidas na 1ª fase, 17 na 2ª e 1 na final, ou seja, 21.\n\nOrganização nova\n\n1. Primeira fase: 4 grupos de 6 times, com \binom{6}{2}=15 jogos por grupo, dando 4\cdot 15=60 partidas.\n2. Eliminados: 8 times (dois por grupo), restando 16.\n3. Segunda fase: \binom{16}{2}=120 partidas.\n4. Final: 1 partida.\n\nTotal: 60+120+1=181 partidas. Um time campeão joga 5 partidas na 1ª fase, 15 na 2ª e 1 na final, ou seja, 21.\n\nComparando:\n- 1ª fase: de 36 para 60, aumenta (A falsa).\n- 2ª fase: de 153 para 120, diminui (B falsa).\n- Total: de 190 para 181, diminui (C verdadeira).\n- Jogos do campeão: 21 nos dois casos (D falsa).\n- Eliminados na 1ª fase: de 6 para 8, aumenta (E falsa).\n\nAlternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AA primeira fase passa de 36 para 60 partidas, ou seja, aumenta.
BA segunda fase passa de 153 para 120 partidas, ou seja, diminui.
DO campeão joga 21 partidas nas duas organizações, então não muda.
EOs eliminados passam de 6 para 8, ou seja, aumentam.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Princípio fundamental da contagem.

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Questão 26 no caderno 1ª etapa da UFG 2012

Fonte: UFG 2012 · 1º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗