Questão 26 (2º semestre) da UFG 2011

Question

Um vidraceiro propõe a um cliente um tipo de vitral octogonal obtido a partir de um quadrado com 9 m de lado, retirando-se, de cada canto, um triângulo retângulo isósceles de cateto com 3 m, conforme indicado na figura a seguir.

Vitral octogonal inscrito em um quadrado de lado 9 m, formado pela remoção de triângulos retângulos isósceles de catetos 3 m de cada canto. O octógono é dividido a partir de seu centro em oito setores triangulares alternados entre cinza-escuro (fumê) e cinza-claro (transparente).

O vitral octogonal será feito com dois tipos de vidro: fumê (em cinza escuro na figura) e transparente (em cinza claro na figura). A razão entre a área da região preenchida com vidro transparente e a preenchida com vidro fumê, nesta ordem, é:

A
\frac{1}{3}
B
\frac{2}{3}
C
\frac{3}{4}
D
1
E
\frac{3}{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 (2º semestre) da UFG 2011

2º semestre · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Um vidraceiro propõe a um cliente um tipo de vitral octogonal obtido a partir de um quadrado com 9 m de lado, retirando-se, de cada canto, um triângulo retângulo isósceles de cateto com 3 m, conforme indicado na figura a seguir.

Vitral octogonal inscrito em um quadrado de lado 9 m, formado pela remoção de triângulos retângulos isósceles de catetos 3 m de cada canto. O octógono é dividido a partir de seu centro em oito setores triangulares alternados entre cinza-escuro (fumê) e cinza-claro (transparente).

O vitral octogonal será feito com dois tipos de vidro: fumê (em cinza escuro na figura) e transparente (em cinza claro na figura). A razão entre a área da região preenchida com vidro transparente e a preenchida com vidro fumê, nesta ordem, é:

A
\frac{1}{3}
B
\frac{2}{3}
C
\frac{3}{4}
D
1
E
\frac{3}{2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O octógono não é regular: os lados paralelos aos lados do quadrado medem 9-3-3=3 m, e os lados diagonais medem 3\sqrt{2} m. O centro do vitral é o centro do quadrado. Cada setor é um triângulo com vértice no centro e base em um lado do octógono.

Pela figura, os setores claros são os que têm base nos 4 lados retos (de 3 m), e os escuros são os que têm base nos 4 lados diagonais.

Distância do centro aos lados retos: metade do quadrado, 4{,}5 m. Área de cada setor claro: \frac{3\cdot 4{,}5}{2}=6{,}75\ \text{m}^2. Os 4 setores claros somam 27\ \text{m}^2.
Área total do octógono: quadrado menos 4 triângulos de canto, 81-4\cdot\frac{3\cdot3}{2}=81-18=63\ \text{m}^2.
Área escura: 63-27=36\ \text{m}^2.
Razão transparente/fumê: \frac{27}{36}=\frac{3}{4}.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem supõe o octógono regular e divide a área igualmente entre as cores.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhuma razão das áreas calculadas (27 e 36); parece vir de uma comparação errada dos lados.
BResulta de uma conta incorreta das áreas dos setores; a razão real é 27/36.
DSupõe que os oito setores têm a mesma área, o que só vale em um octógono regular.
EInverte a razão pedida (fumê sobre transparente seria 4/3, e ainda assim não é 3/2).

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Razão e proporção.

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Questão 26 no caderno 1ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2011 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗