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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 25 (2º semestre) da UFG 2011

2º semestre · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

Uma mola ideal, com 50\ \text{cm} de comprimento (quando completamente relaxada), é presa ao teto por uma de suas extremidades. Na extremidade oposta, pendura-se um bloco de madeira de 100\ \text{g}. Quando o sistema (mola e bloco) está em equilíbrio estático, a extremidade da mola que prende-se ao bloco fica a 65\ \text{cm} do teto. Partindo desta posição de equilíbrio, o bloco é levantado 10\ \text{cm} verticalmente e então é solto. Considere a função h(t) que representa, em cada instante, a altura do bloco, em \text{cm}, relativa à posição de equilíbrio (h = 0), com o tempo t medido a partir do momento em que o bloco é solto (t = 0). Considerando o exposto, conclui-se que o gráfico de h(t) é:

  1. A
    Gráfico cartesiano com eixo vertical h e eixo horizontal t, com origem 0. O gráfico é um segmento de reta decrescente que parte de h = 10 em t = 0 e termina no eixo horizontal t, onde h = 0.
  2. B
    Gráfico cartesiano com eixo vertical h e eixo horizontal t, com origem 0. O gráfico é uma curva decrescente côncava para cima que parte de h = 10 em t = 0 e tangencia o eixo horizontal t, onde h = 0.
  3. C
    Gráfico cartesiano com eixo vertical h e eixo horizontal t, com origem 0. O gráfico é uma onda triangular periódica que parte de h = 10 em t = 0, decresce linearmente cruzando o eixo t até um valor mínimo negativo, cresce linearmente de volta até h = 10 e repete o movimento.
  4. D
    Gráfico cartesiano com eixo vertical h e eixo horizontal t, com origem 0. O gráfico é uma curva cossenoidal periódica suave que parte do máximo h = 10 em t = 0, oscila simetricamente abaixo e acima do eixo t, atingindo picos em h = 10 e vales negativos.
  5. E
    Gráfico cartesiano com eixo vertical h e eixo horizontal t, com origem 0. O gráfico é uma curva periódica que parte de h = 10 em t = 0, decresce com concavidade voltada para baixo até formar um bico agudo em seu valor mínimo negativo, e então sobe novamente com concavidade para baixo até h = 10, repetindo esse padrão.
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Resolução comentada

O sistema massa-mola ideal, sem atrito, realiza um movimento harmônico simples (MHS). A força resultante sobre o bloco é a diferença entre o peso e a força elástica, medida a partir do equilíbrio, e vale F=-k\,h, onde h é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio. Essa força restauradora proporcional ao deslocamento leva a uma equação do tipo h''=-\omega^2 h, cuja solução é senoidal.

As condições iniciais determinam a função:

  1. Em t=0, o bloco é solto em repouso a 10\ \text{cm} acima do equilíbrio, então h(0)=10 e a velocidade inicial é nula.
  2. Velocidade nula no início significa que o ponto de partida é um máximo, ou seja, a amplitude é A=10\ \text{cm}.
  3. Assim, h(t)=10\cos(\omega t), com \omega=\sqrt{k/m}.

O gráfico é, portanto, uma cossenoide periódica: parte do máximo 10, passa por 0, chega ao mínimo -10 e volta, de forma suave e simétrica em torno do eixo t.

Os dados numéricos (50 cm, 65 cm, 100 g) servem apenas para calcular k e o período, que não alteram a forma da curva. Como a mola é ideal e não há dissipação, a amplitude não diminui, o que descarta os gráficos amortecidos ou de uma só descida.

O gráfico com cossenoide suave, partindo de 10 e oscilando entre 10 e -10, é o da alternativa D.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AMostra queda linear até o equilíbrio e para, sem oscilação; a força restauradora não gera movimento retilíneo uniforme.
  • BRepresenta um decaimento que tende ao equilíbrio sem oscilar, o que exigiria amortecimento forte, não existente na mola ideal.
  • CA onda triangular implicaria velocidade constante em módulo, mas a aceleração no MHS varia, então a curva é suave.
  • ETem bico agudo no mínimo, o que indicaria velocidade nula não suave ou colisão; no MHS o mínimo é arredondado, como o máximo.

Assunto: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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Ver como caiu na prova Questão 25 no caderno 1ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2011 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗