Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 24 (2º semestre) da UFG 2011

2º semestre · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

Leia o texto a seguir.

Interceptando-se o cubo lifang com um plano que contém a diagonal de duas faces opostas, este fica dividido em dois prismas congruentes chamados qiandu.

Cubo lifang interceptado por um plano diagonal e sua divisão em dois prismas retos qiandu

Interceptando-se o prisma qiandu com o plano determinado pela diagonal de uma face quadrada e a diagonal da face retangular, obtem-se as pirâmides yangma e a bienuan.

Prisma qiandu seccionado diagonalmente originando as pirâmides yangma e bienuan

Finalmente, interceptando-se a pirâmide yangma com um plano que contém a diagonal da base e o vértice que não pertence à base, obtem-se dois bienuan.

Pirâmide yangma seccionada pela diagonal da base originando dois bienuan

GASPAR, M. T.; MAURO, S. Explorando a geometria através da história da Matemática e da Etnomatemática. Rio Claro: Sociedade Brasileira de História da Matemática, 2003.

As instruções apresentadas estão contidas no livro intitulado Jiuzhang Suanshu (Os nove capítulos sobre a arte matemática), representativo da matemática chinesa produzida no período de 1.027 a.C. a 220 d.C. Elas indicam como obter outros sólidos elementares, a partir do lifang.

Considerando-se que o lifang apresentado no texto acima tem aresta a, o volume do bienuan é:

  1. A
    \dfrac{a^3}{6}
  2. B
    \dfrac{a^3}{4}
  3. C
    \dfrac{a^3}{3}
  4. D
    \dfrac{a^3}{2}
  5. E
    a^3
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Vamos acompanhar as divisões do cubo (lifang) de aresta a, calculando o volume em cada etapa.

  1. O lifang tem volume a^3.
  2. O plano que contém as diagonais de duas faces opostas divide o cubo em dois prismas qiandu congruentes. Cada um tem volume \dfrac{a^3}{2}. A base de cada prisma é um triângulo retângulo isósceles de catetos a, com altura a.
  3. O prisma qiandu é cortado pelo plano que passa pela diagonal de uma face quadrada e pela diagonal da face retangular. Surgem a pirâmide yangma e a pirâmide bienuan.
  4. A yangma tem base quadrada de lado a e altura a, pois o vértice do ápice está sobre uma aresta perpendicular à base. Seu volume é:
    V_{yangma}=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a=\frac{a^3}{3}
  5. O bienuan que sobra do qiandu é a diferença:
    V_{bienuan}=\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3}=\frac{a^3}{6}

Conferência: a yangma é dividida em dois bienuan congruentes, cada um com \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a^3}{3}=\dfrac{a^3}{6}. Os dois cálculos concordam.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão corresponde a nenhuma etapa da decomposição; o valor a^3/4 não aparece nos cortes.
  • CÉ o volume da pirâmide yangma (base a^2, altura a), não o do bienuan, que é metade dela.
  • DÉ o volume do prisma qiandu, que contém o bienuan.
  • EÉ o volume do cubo inteiro.

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Prismas e paralelepípedos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 24 no caderno 1ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2011 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗