Questão 29 (1º semestre) da UFG 2010

Como p tem coeficientes reais, se z = 2 + i é raiz, o conjugado \bar z = 2 - i também é raiz. Isso dá duas das três raízes.

A terceira sai das relações de Girard. Para x^3 - 9x^2 + 25x - 25, a soma das raízes é -\dfrac{-9}{1} = 9.

1. Soma das duas raízes complexas: (2 + i) + (2 - i) = 4.
2. Terceira raiz: r = 9 - 4 = 5.

Conferindo pelo produto das raízes, que deve ser -\dfrac{-25}{1} = 25: (2+i)(2-i)\cdot 5 = (4+1)\cdot 5 = 25. Confere.

As raízes são 2+i, 2-i e 5. No plano complexo, correspondem aos pontos (2, 1), (2, -1) e (5, 0).

Os dois primeiros ficam sobre a reta vertical x = 2, e o terceiro está no eixo real, à direita. Isso forma um triângulo isósceles com a base vertical, como na figura da alternativa A.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BOs vértices (-2,1), (2,1) e (0,-2) não correspondem a nenhuma raiz de p.
• CUsa a terceira raiz -1, que não satisfaz a soma das raízes igual a 9.
• DOs vértices (-2,1), (2,1) e (0,5) não correspondem às raízes de p.
• EUsa a terceira raiz -2, que não satisfaz a soma das raízes igual a 9.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Números complexos.

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