Questão 30 (1º semestre) da UFG 2010

Question

Segundo reportagem da Revista Aquecimento Global (ano 2, n. 8, 2009, p. 20-23), o acordo ambiental conhecido como “20-20-20”, assinado por representantes dos países membros da União Europeia, sugere que, até 2020, todos os países da comunidade reduzam em 20% a emissão de dióxido de carbono (\text{CO}_2), em relação ao que cada país emitiu em 1990.

Suponha que em certo país o total estimado de \text{CO}_2 emitido em 2009 foi 28% maior que em 1990. Com isso, após o acordo, esse país estabeleceu a meta de reduzir sua emissão de \text{CO}_2, ano após ano, de modo que a razão entre o total emitido em um ano n (E_n) e o total emitido no ano anterior (E_{n-1}) seja constante, começando com a razão E_{2010}/E_{2009} até E_{2020}/E_{2019}, atingindo em 2020 a redução preconizada pelo acordo. Assim, essa razão de redução será de:

| Use: \log 5 = 0{,}695 |

A
10^{-0{,}01}
B
10^{-0{,}02}
C
10^{-0{,}12}
D
10^{-0{,}28}
E
10^{-0{,}30}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 30 (1º semestre) da UFG 2010

1º semestre · Matemática: Progressão geométrica

Segundo reportagem da Revista Aquecimento Global (ano 2, n. 8, 2009, p. 20-23), o acordo ambiental conhecido como “20-20-20”, assinado por representantes dos países membros da União Europeia, sugere que, até 2020, todos os países da comunidade reduzam em 20% a emissão de dióxido de carbono (\text{CO}_2), em relação ao que cada país emitiu em 1990.

Suponha que em certo país o total estimado de \text{CO}_2 emitido em 2009 foi 28% maior que em 1990. Com isso, após o acordo, esse país estabeleceu a meta de reduzir sua emissão de \text{CO}_2, ano após ano, de modo que a razão entre o total emitido em um ano n (E_n) e o total emitido no ano anterior (E_{n-1}) seja constante, começando com a razão E_{2010}/E_{2009} até E_{2020}/E_{2019}, atingindo em 2020 a redução preconizada pelo acordo. Assim, essa razão de redução será de:

| Use: \log 5 = 0{,}695 |

A
10^{-0{,}01}
B
10^{-0{,}02}
C
10^{-0{,}12}
D
10^{-0{,}28}
E
10^{-0{,}30}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Seja E_{1990}=E. Em 2009 a emissão foi 1{,}28E. A meta para 2020 é 20% abaixo de 1990, ou seja, E_{2020}=0{,}8E.

Se a razão q entre um ano e o anterior é constante, a emissão forma uma progressão geométrica. De 2009 a 2020 são 11 razões (2010, 2011, ..., 2020):

E_{2020}=E_{2009}\cdot q^{11}

Substituindo: 0{,}8E = 1{,}28E\cdot q^{11}.
Logo q^{11}=\dfrac{0{,}8}{1{,}28}=\dfrac{80}{128}=\dfrac{5}{8}.
Aplicando \log: 11\log q=\log 5-\log 8=\log 5-3\log 2.
Como \log 2=1-\log 5=1-0{,}695=0{,}305, temos 3\log 2=0{,}915.
Então 11\log q=0{,}695-0{,}915=-0{,}22.
Portanto \log q=-0{,}02, ou seja, q=10^{-0{,}02}.

A razão é menor que 1, como esperado para uma redução.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AErra a conta de \log q; -0{,}01 não vem de -0{,}22/11.
CUsa \log(0{,}8) ou outra combinação errada, sem dividir por 11 corretamente.
DToma a redução de 28% como expoente, sem usar a razão da PG.
EUsa \log 2\approx0{,}30 como expoente, sem montar a equação q^{11}=5/8.

Assuntos: Progressão geométrica, Logaritmos e função logarítmica.

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Questão 30 no caderno 1ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2010 · 1º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗