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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 da UFG 2008

Prova objetiva · Matemática: Função exponencial

A lei de resfriamento de Newton estabelece para dois corpos, A e B, com temperatura inicial de 80\text{ }^\text{o}\text{C} e 160\text{ }^\text{o}\text{C}, respectivamente, imersos num meio com temperatura constante de 30\text{ }^\text{o}\text{C}, que as temperaturas dos corpos, após um tempo t, serão dadas pelas funções

T_A = 30 + 50 \times 10^{-kt} \quad \text{e} \quad T_B = 30 + 130 \times 10^{-2kt}

onde k é uma constante. Qual será o tempo decorrido até que os corpos tenham temperaturas iguais?

  1. A
    (1/k)\log 5
  2. B
    (2/k)\log \dfrac{18}{5}
  3. C
    (1/k)\log \dfrac{13}{5}
  4. D
    (2/k)\log \dfrac{5}{2}
  5. E
    (1/k)\log \dfrac{2}{5}
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Resolução comentada

Queremos o instante t em que T_A = T_B:

30 + 50\times 10^{-kt} = 30 + 130\times 10^{-2kt}
  1. Cancelando o 30: 50\times 10^{-kt} = 130\times 10^{-2kt}.
  2. Chamando x = 10^{-kt}, temos 10^{-2kt} = x^2, então 50x = 130x^2.
  3. Como x>0, dividimos por x: 50 = 130x, logo x = \dfrac{5}{13}.
  4. Voltando: 10^{-kt} = \dfrac{5}{13}, ou seja, 10^{kt} = \dfrac{13}{5}.
  5. Aplicando \log nos dois lados: kt = \log\dfrac{13}{5}.
  6. Portanto t = \dfrac{1}{k}\log\dfrac{13}{5}.

Observe que a solução x=0 não serve, pois uma potência de 10 nunca é zero. Isso corresponde a t\to\infty, quando os dois corpos chegam a 30\ \text{°C} sem nunca igualar em tempo finito além do achado.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora o fator 130 e o expoente duplo, chegando a 10^{kt}=5 sem sentido na equação.
  • BTrata 10^{-2kt} como se desse fator 2 fora do log e usa a razão 18/5, que não aparece nas contas.
  • DColoca o fator 2 fora do log e usa 5/2, sem relação com 130/50 nem com x^2.
  • EInverte a fração e usa 2/5, quando o correto é 10^{kt}=13/5.

Assuntos: Função exponencial, Logaritmos e função logarítmica.

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Ver como caiu na prova Questão 28 no caderno 1ª etapa da UFG 2008

Fonte: UFG 2008 · 1ª etapa. Prova oficial ↗