Questão 28 da UFG 2006

Question

Em um sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0,0), B(0,2), C(4,2), D(4,0) e E(x,0), onde 0 < x < 4. Considerando os segmentos BD e CE, obtêm-se os triângulos T_1 e T_2, destacados na figura.

Gráfico no plano cartesiano com eixos x e y mostrando o retângulo de vértices A (na origem), B (no eixo y), C e D (no eixo x), além do ponto E sobre o eixo x entre A e D. Os segmentos BD e CE se interceptam no interior do retângulo, delimitando dois triângulos destacados em cinza: T1 na parte superior, com base BC, e T2 na parte inferior, com base ED.

Para que a área do triângulo T_1 seja o dobro da área de T_2, o valor de x é:

A
2 - \sqrt{2}
B
4 - 2\sqrt{2}
C
4 - \sqrt{2}
D
8 - 2\sqrt{2}
E
8 - 4\sqrt{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 da UFG 2006

Prova objetiva · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Em um sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0,0), B(0,2), C(4,2), D(4,0) e E(x,0), onde 0 < x < 4. Considerando os segmentos BD e CE, obtêm-se os triângulos T_1 e T_2, destacados na figura.

Gráfico no plano cartesiano com eixos x e y mostrando o retângulo de vértices A (na origem), B (no eixo y), C e D (no eixo x), além do ponto E sobre o eixo x entre A e D. Os segmentos BD e CE se interceptam no interior do retângulo, delimitando dois triângulos destacados em cinza: T1 na parte superior, com base BC, e T2 na parte inferior, com base ED.

Para que a área do triângulo T_1 seja o dobro da área de T_2, o valor de x é:

A
2 - \sqrt{2}
B
4 - 2\sqrt{2}
C
4 - \sqrt{2}
D
8 - 2\sqrt{2}
E
8 - 4\sqrt{2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Os segmentos BD e CE se cortam em um ponto P. Como BC é paralela a ED (ambas horizontais), os triângulos T_1 = PBC e T_2 = PED são semelhantes, com ângulos iguais (opostos pelo vértice em P e alternos internos).

As bases são BC = 4 e ED = 4 - x. A razão de semelhança é k = \frac{BC}{ED} = \frac{4}{4-x}.

A razão entre áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança. Como T_1 deve ter o dobro da área de T_2:

\left(\frac{4}{4-x}\right)^2 = 2

Tirando a raiz (valores positivos, pois 4-x>0): \frac{4}{4-x} = \sqrt{2}.
Então 4 - x = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}.
Logo x = 4 - 2\sqrt{2}.

Verificação: x \approx 4 - 2{,}83 = 1{,}17, que está entre 0 e 4. Conferindo: ED \approx 2{,}83, k \approx 1{,}41 e k^2 = 2. Está correto.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AResulta de usar 2-\sqrt{2}, valor que não satisfaz (4/(4-x))^2=2; parece dividir tudo por 2 de forma errada.
CObtém 4-x=\sqrt{2}, esquecendo de dividir 4 por \sqrt{2} corretamente.
DDá x\approx5{,}17, fora do intervalo 0<x<4.
EDá x\approx2{,}34, que corresponde a ED\approx1{,}66 e razão de áreas diferente de 2.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 28 no caderno 1ª etapa da UFG 2006

Fonte: UFG 2006 · 1ª etapa. Prova oficial ↗