Questão 27 da UFG 2006

Piscina semicircular: a base é um semicírculo de raio 6\text{ m}, com profundidade 1{,}25\text{ m}. Seu volume é a área do semicírculo vezes a profundidade.

1. Volume da piscina: V_p=\dfrac{\pi\cdot 6^2}{2}\cdot 1{,}25=18\pi\cdot 1{,}25=22{,}5\pi\ \text{m}^3.

2. A terra solta tem 20\% a mais: V_t=1{,}2\cdot 22{,}5\pi=27\pi\ \text{m}^3.

3. No cone, a geratriz forma 60^\circ com a vertical (a altura h). No triângulo retângulo formado por altura, raio r e geratriz, o ângulo com a altura é 60^\circ, então \tg 60^\circ=\dfrac{r}{h}, ou seja, r=h\sqrt{3}.

4. Volume do cone: V=\dfrac{\pi r^2 h}{3}=\dfrac{\pi\cdot 3h^2\cdot h}{3}=\pi h^3.

5. Igualando: \pi h^3=27\pi\Rightarrow h^3=27\Rightarrow h=3\text{ m}.

A altura do cone é 3{,}0\text{ m}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde a h^3=27; resultado sem base no cálculo do volume.
• BValor sem base nas contas; costuma vir de erro de aproximação com o raio do cone.
• DNão satisfaz h^3=27; vem de erro ao relacionar raio e altura.
• EDaria h^3=64, ou seja, volume bem maior que 27\pi.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Trigonometria no triângulo retângulo.

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