Questão 33 da UFG 2005

Question

Em um terreno triangular, com 1200\text{ m}^2 de área, um dos lados mede 60\text{ m}. Deseja-se construir, nesse terreno, um galpão, cuja base retangular tem 504\text{ m}^2 de área, conforme a figura abaixo.

Esquema de um triângulo representando o terreno, cuja base mede 60 m, contendo um retângulo inscrito com a indicação "Base do galpão", tendo a base apoiada sobre o lado de 60 m e os outros dois vértices sobre os lados adjacentes do triângulo.

Se os vértices da base do galpão estão sobre os lados do terreno, o menor perímetro possível da base do galpão, em metros, é

A
90
B
92
C
100
D
110
E
128

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 33 da UFG 2005

Prova objetiva · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Em um terreno triangular, com 1200\text{ m}^2 de área, um dos lados mede 60\text{ m}. Deseja-se construir, nesse terreno, um galpão, cuja base retangular tem 504\text{ m}^2 de área, conforme a figura abaixo.

Esquema de um triângulo representando o terreno, cuja base mede 60 m, contendo um retângulo inscrito com a indicação "Base do galpão", tendo a base apoiada sobre o lado de 60 m e os outros dois vértices sobre os lados adjacentes do triângulo.

Se os vértices da base do galpão estão sobre os lados do terreno, o menor perímetro possível da base do galpão, em metros, é

A
90
B
92
C
100
D
110
E
128

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Resolução comentada

Primeiro, a altura do terreno: a área é \frac{60\cdot h}{2}=1200, logo h=40\ \text{m}.

Seja o retângulo de base x (sobre o lado de 60 m) e altura y. O lado superior do retângulo é paralelo à base do triângulo e forma, com o vértice de cima, um triângulo menor semelhante ao terreno. Esse triângulo menor tem base x e altura 40-y.

Pela semelhança:

\frac{x}{60}=\frac{40-y}{40}\ \Rightarrow\ x=60-\frac{3y}{2}

A área do retângulo é xy=504:

Substituindo: \left(60-\frac{3y}{2}\right)y=504.
Multiplicando por 2: 120y-3y^2=1008.
Dividindo por 3: y^2-40y+336=0.
Discriminante: 1600-1344=256, então y=\frac{40\pm16}{2}, ou seja, y=28 ou y=12.

Calculando x em cada caso:

y=12: x=60-18=42, e 42\cdot12=504. Perímetro: 2(42+12)=108.
y=28: x=60-42=18, e 18\cdot28=504. Perímetro: 2(18+28)=92.

Os dois retângulos existem, e o menor perímetro é 92\ \text{m}.

Alternativa B.

Pegadinha: A equação do segundo grau tem duas raízes válidas (y = 12 e y = 28); parar na primeira dá 108, e a pergunta pede o menor perímetro, 92.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhuma das duas soluções possíveis do problema (108 e 92).
CNão resulta de nenhum retângulo de área 504 inscrito no triângulo.
DValor próximo de 108, o perímetro da outra solução (42 por 12), que é maior, e não o menor.
ENão corresponde a nenhum retângulo válido; é um valor sem relação com as soluções 108 e 92.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Equação do 2º grau, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 33 no caderno 1ª etapa da UFG 2005

Fonte: UFG 2005 · 1ª etapa. Prova oficial ↗