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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 32 da UFG 2005

Prova objetiva · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Sabe-se que todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais admite pelo menos uma raiz real. Dado o polinômio p(x) = [(m - 1)(m^2 + 1)]x^5 + x^2 + kx + 1, com m, k \boldsymbol{\in} R, as condições sobre m e k, para que o polinômio p(x) não admita raiz real, são

  1. A
    m = 0 e k < -2
  2. B
    m = -1 e -2 < k < 2
  3. C
    m = 1 e k < -2
  4. D
    m = 1 e -2 < k < 2
  5. E
    m = 0 e k > 2
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Resolução comentada

Se o grau de p(x) for ímpar (5), ele sempre tem raiz real. Para que p(x) não tenha raiz real, o termo em x^5 precisa desaparecer, ou seja, o coeficiente deve ser zero:

(m-1)(m^2+1)=0

Como m^2+1>0 para todo m real, só sobra m-1=0, logo m=1.

Com m=1, o polinômio fica:

p(x)=x^2+kx+1

Agora é uma função do 2º grau. Ela não tem raiz real quando o discriminante é negativo:

  1. \Delta = k^2-4\cdot 1\cdot 1 = k^2-4
  2. Condição: k^2-4<0
  3. Então k^2<4, ou seja, -2<k<2

Portanto, as condições são m=1 e -2<k<2.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Am=0 dá coeficiente -1 em x^5, mantendo grau 5, que sempre tem raiz real.
  • Bm=-1 dá coeficiente -4 em x^5, grau 5 continua, então há raiz real.
  • Cm=1 está certo, mas k<-2 dá \Delta>0, o que implica duas raízes reais.
  • Em=0 mantém o grau 5, e k>2 também daria \Delta>0 no caso quadrático.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Equação do 2º grau.

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Ver como caiu na prova Questão 32 no caderno 1ª etapa da UFG 2005

Fonte: UFG 2005 · 1ª etapa. Prova oficial ↗