Questão 31 da UFG 2005

Question

Deseja-se pintar com tintas de cores preta e amarela, alternadamente, um disco no qual estão marcados círculos concêntricos, cujos raios estão em PA de razão 1\text{ m}. Pinta-se no primeiro dia o círculo central do disco, de raio 1\text{ m}, usando 0{,}5\text{ L} de tinta preta. Nos dias seguintes, pinta-se a região delimitada pela circunferência seguinte ao círculo pintado no dia anterior. Se a tinta usada, não importando a cor, tem sempre o mesmo rendimento, a quantidade total de tinta amarela gasta até o 21º dia, em litros, será de

A
100{,}0
B
105{,}0
C
115{,}5
D
199{,}5
E
220{,}5

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 31 da UFG 2005

Prova objetiva · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Deseja-se pintar com tintas de cores preta e amarela, alternadamente, um disco no qual estão marcados círculos concêntricos, cujos raios estão em PA de razão 1\text{ m}. Pinta-se no primeiro dia o círculo central do disco, de raio 1\text{ m}, usando 0{,}5\text{ L} de tinta preta. Nos dias seguintes, pinta-se a região delimitada pela circunferência seguinte ao círculo pintado no dia anterior. Se a tinta usada, não importando a cor, tem sempre o mesmo rendimento, a quantidade total de tinta amarela gasta até o 21º dia, em litros, será de

A
100{,}0
B
105{,}0
C
115{,}5
D
199{,}5
E
220{,}5

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Resolução comentada

Os raios dos círculos são 1, 2, 3, \dots m. No dia n pinta-se a coroa entre os raios n-1 e n (no dia 1, o círculo central).

Área do dia n:

A_n = \pi n^2 - \pi (n-1)^2 = \pi(2n-1)

Para n=1: A_1=\pi, que usa 0{,}5 L. Como o rendimento é sempre o mesmo, a tinta gasta é proporcional à área: no dia n gasta-se \dfrac{2n-1}{2} L.

As cores alternam, começando pela preta no dia 1. Logo, o amarelo é usado nos dias pares: n=2,4,\dots,20 (o dia 21 é preto).

Com n=2k, k=1,\dots,10, a quantidade de tinta é \dfrac{4k-1}{2} L.

Soma de (4k-1) para k=1 a 10: 4\cdot\dfrac{10\cdot 11}{2} - 10 = 220-10 = 210.
Dividindo por 2: \dfrac{210}{2} = 105 L.

Conferindo: os termos são 1{,}5;\ 3{,}5;\ \dots;\ 19{,}5, uma PA com 10 termos, e a soma é \dfrac{(1{,}5+19{,}5)\cdot 10}{2}=105.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E é a tinta total dos 21 dias (441/2), e a D engana quem soma todos os dias sem separar a cor amarela, que só ocorre nos dias pares.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor redondo sem base no cálculo; não corresponde à soma das áreas dos dias pares.
CInclui indevidamente parte do dia 21 ou erra a contagem dos dias de tinta amarela.
DSoma a tinta de todos os 21 dias, sem separar a cor amarela.
ECorresponde a 21^2/2, a tinta total até o 21º dia, e não só a amarela.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Progressão aritmética.

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Questão 31 no caderno 1ª etapa da UFG 2005

Fonte: UFG 2005 · 1ª etapa. Prova oficial ↗