Questão 30 da UFG 2005

A ideia é que o raio que sai da fonte e toca a esfera é tangente à circunferência, então é perpendicular ao raio traçado até o ponto de tangência. Isso forma triângulos retângulos semelhantes.

Seja F a fonte, O o centro da esfera e T o ponto de tangência. No triângulo retângulo FTO, a hipotenusa é FO = 25 e um cateto é OT = 7.

1. Cateto FT: FT^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576, logo FT = 24 cm.
2. Pela simetria, o raio de luz é uma reta que chega à parede a 14 cm do eixo (metade de 28). Seja \alpha o ângulo entre o raio de luz e o eixo. No triângulo FTO: \tg\alpha = \dfrac{OT}{FT} = \dfrac{7}{24}.
3. No triângulo grande, formado pela fonte, o eixo até a parede e a metade da sombra: \tg\alpha = \dfrac{14}{25 + d}.
4. Igualando: \dfrac{14}{25+d} = \dfrac{7}{24}, então 25 + d = \dfrac{14\cdot 24}{7} = 48.
5. Portanto d = 48 - 25 = 23 cm.

Conferindo: a distância da fonte à parede é 48, o dobro de 24, e a sombra (28) é o dobro do diâmetro... o raio da esfera (7) vezes 2 é 14, e 14\cdot 2 = 28, coerente com a razão de semelhança 2.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa que engana é a E ou D, para quem esquece de subtrair os 25 cm da distância total fonte–parede (48 cm) e erra a razão; o valor 48 não aparece como opção, então é preciso subtrair 25.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Brepete a distância fonte–centro (25 cm), sem usar a semelhança de triângulos.
• Cusa o diâmetro da sombra como se fosse a distância d.
• Dresultado sem base no cálculo, provável erro na razão de semelhança.
• Eerro de conta na razão de semelhança, sem subtrair corretamente os 25 cm.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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