Questão 28 da UFG 2005

Question

Um sistema linear tem a seguinte matriz de coeficientes:

\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 2 & k & 4 \\ 1 & -2 & 2 \end{bmatrix}

Uma condição necessária e suficiente sobre k para que o sistema tenha uma única solução é

A
k \neq 4
B
k \neq \dfrac{12}{11}
C
k \neq 0
D
k \neq -\dfrac{12}{11}
E
k \neq -4

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 da UFG 2005

Prova objetiva · Matemática: Sistemas lineares

Um sistema linear tem a seguinte matriz de coeficientes:

\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 2 & k & 4 \\ 1 & -2 & 2 \end{bmatrix}

Uma condição necessária e suficiente sobre k para que o sistema tenha uma única solução é

A
k \neq 4
B
k \neq \dfrac{12}{11}
C
k \neq 0
D
k \neq -\dfrac{12}{11}
E
k \neq -4

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas tem solução única quando o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero. É isso que vamos calcular.

Expandindo pela primeira linha:

Cofator do 3: k\cdot 2-4\cdot(-2)=2k+8, então 3(2k+8)=6k+24.
Cofator do 4: 2\cdot 2-4\cdot 1=0, então -4\cdot 0=0.
Cofator do 5: 2\cdot(-2)-k\cdot 1=-4-k, então 5(-4-k)=-20-5k.

Somando:

\det = (6k+24)+0+(-20-5k)=k+4

O determinante é k+4, que só se anula em k=-4. Portanto, o sistema tem solução única se, e somente se, k+4\neq 0, ou seja, k\neq -4.

Conferindo por Sarrus: diagonais principais 3k\cdot 2=6k, 4\cdot4\cdot1=16, 5\cdot2\cdot(-2)=-20, soma 6k-4. Diagonais secundárias 5\cdot k\cdot1=5k, 3\cdot4\cdot(-2)=-24, 4\cdot2\cdot2=16, soma 5k-8. Diferença: 6k-4-(5k-8)=k+4. Confere.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

Atroca o sinal da raiz do determinante: k+4=0 dá k=-4, não 4.
Bvalor sem relação com o determinante, que é k+4.
Ck=0 não anula o determinante (que vale 4), então não é a condição.
Dvalor sem relação com o determinante, resultado de erro de cálculo.

Assuntos: Sistemas lineares, Matrizes e determinantes.

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Questão 28 no caderno 1ª etapa da UFG 2005

Fonte: UFG 2005 · 1ª etapa. Prova oficial ↗