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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 27 da UFG 2005

Prova objetiva · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Deseja-se marcar nas trajetórias circulares concêntricas, representadas na figura abaixo, os pontos A e B, de modo que dois móveis partindo, respectivamente, dos pontos A e B, no sentido horário, mantendo-se na mesma trajetória, percorram distâncias iguais até a linha de origem. Considerando que o ponto A deverá ser marcado sobre a linha de origem a 8 m do centro e o ponto B a 10 m do centro, o valor do ângulo \alpha, em graus, será igual a

Duas circunferências concêntricas de centro comum. Um raio tracejado vertical liga o centro ao ponto A sobre a circunferência interna, indicado por uma seta como "Linha de origem". Outro raio tracejado liga o centro ao ponto B sobre a circunferência externa, formando com a linha de origem um ângulo central denotado por alfa.

  1. A
    30
  2. B
    36
  3. C
    45
  4. D
    60
  5. E
    72
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Resolução comentada

Cada móvel anda sobre sua própria circunferência, no sentido horário, até chegar à linha de origem. A figura mostra A exatamente sobre a linha de origem, portanto A já está lá e percorre um arco de 0 ou uma volta completa, conforme o caso. Para que as distâncias sejam iguais, o móvel A dá uma volta completa e o móvel B percorre o arco que falta para chegar à linha de origem.

O ponto B está a um ângulo \alpha da linha de origem, no sentido anti-horário a partir da origem. Andando no sentido horário, B volta à linha de origem percorrendo o arco de \alpha graus.

Comprimento de um arco: s = \theta \cdot r, com \theta em radianos.

  1. Móvel A, uma volta completa em r = 8: s_A = 2\pi \cdot 8 = 16\pi m.
  2. Móvel B, arco de \alpha em r = 10: s_B = \alpha \cdot 10, com \alpha em radianos.
  3. Igualando: 10\alpha = 16\pi, logo \alpha = \dfrac{8\pi}{5} rad.
  4. Em graus: \alpha = \dfrac{8\pi}{5}\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi} = 288^\circ.

O ângulo \alpha da figura é o menor ângulo entre os raios, medido no sentido anti-horário a partir de A, e B está a 288^\circ nesse sentido. Esse ângulo é o replemento de 72^\circ, pois 360^\circ-288^\circ=72^\circ. O ângulo \alpha marcado na figura, entre os raios, vale então 72^\circ, e nesse caso o arco de B no sentido horário até a origem é 288^\circ.

O ângulo pedido, como aparece na figura, é 72^\circ.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão decorre de nenhuma relação entre os raios 8 e 10 e o comprimento dos arcos.
  • BValor sem relação com a igualdade 10\alpha = 16\pi; não resulta de nenhum cálculo coerente.
  • CSupõe um arco de meia-volta ou um quarto de volta sem respeitar a razão entre os raios.
  • DSeria o ângulo de um hexágono, sem relação com a razão 8/10.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Razão e proporção.

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Ver como caiu na prova Questão 27 no caderno 1ª etapa da UFG 2005

Fonte: UFG 2005 · 1ª etapa. Prova oficial ↗