Questão 32 da UFG 2004

Question

Seja M = [a_{ij}]_{n \times n} uma matriz quadrada de ordem n, onde a_{ij} = i + j.

Nessas condições, a soma dos elementos da diagonal principal desta matriz é

A
n^2
B
2n + 2n^2
C
2n + n^2
D
n^2 + n
E
n + 2n^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 32 da UFG 2004

Prova objetiva · Matemática: Matrizes e determinantes

Seja M = [a_{ij}]_{n \times n} uma matriz quadrada de ordem n, onde a_{ij} = i + j.

Nessas condições, a soma dos elementos da diagonal principal desta matriz é

A
n^2
B
2n + 2n^2
C
2n + n^2
D
n^2 + n
E
n + 2n^2

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Na diagonal principal de uma matriz quadrada, os elementos têm índice de linha igual ao de coluna, ou seja, i=j. Então cada elemento da diagonal é a_{ii} = i + i = 2i.

O traço (soma da diagonal) é:

\sum_{i=1}^{n} a_{ii} = \sum_{i=1}^{n} 2i = 2\,(1+2+\dots+n)

A soma dos n primeiros inteiros positivos é uma progressão aritmética:

1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}

Substituindo:

2\cdot\frac{n(n+1)}{2} = n(n+1) = n^2 + n

Teste com n=2: a diagonal tem a_{11}=2 e a_{22}=4, soma 6. A fórmula dá 2^2+2=6, confere.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ADaria n^2, que para n=2 resulta 4, mas a soma real é 6.
BExpressão sem sentido aqui; para n=2 daria 12, bem acima de 6.
CPara n=2 daria 8, não 6; confunde a soma de 2i com 2n+n^2.
EPara n=2 daria 10; não corresponde à soma 2(1+\dots+n).

Assuntos: Matrizes e determinantes, Progressão aritmética.

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Questão 32 no caderno 1ª etapa da UFG 2004

Fonte: UFG 2004 · 1ª etapa. Prova oficial ↗