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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 31 da UFG 2004

Prova objetiva · Matemática: Números complexos

O número complexo z = x + yi pode ser representado no plano, como abaixo:

Representação gráfica no plano cartesiano com origem O de um vetor ligando a origem ao ponto P de coordenadas (x, y). O ângulo entre o vetor e o eixo vertical é indicado por alfa, e o ângulo entre o vetor e o eixo horizontal é indicado por teta.

Considere r = \sqrt{x^2 + y^2}, o módulo de z

O número complexo z pode ser escrito como:

  1. A
    z = r(\cos \alpha + i\sen \alpha)
  2. B
    z = r(\cos \alpha - i\sen \alpha)
  3. C
    z = r(\sen \theta + i\cos \theta)
  4. D
    z = r(\sen \alpha - i\cos \alpha)
  5. E
    z = r(\cos \theta + i\sen \theta)
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Resolução comentada

A forma trigonométrica de z = x + yi usa o módulo r e o ângulo que o vetor OP faz com o eixo real (horizontal), medido no sentido anti-horário. Na figura, esse ângulo é \theta. O ângulo \alpha é medido a partir do eixo vertical e não serve para a forma polar padrão.

No triângulo retângulo formado por O, a projeção de P no eixo horizontal e P:

  1. O cateto adjacente a \theta vale x, então \cos\theta = \dfrac{x}{r}, ou seja, x = r\cos\theta.
  2. O cateto oposto a \theta vale y, então \sen\theta = \dfrac{y}{r}, ou seja, y = r\sen\theta.

Substituindo em z = x + yi:

z = r\cos\theta + i\,r\sen\theta = r(\cos\theta + i\sen\theta)

Como \alpha + \theta = 90^\circ, também seria possível escrever \cos\theta = \sen\alpha e \sen\theta = \cos\alpha, ou seja, z = r(\sen\alpha + i\cos\alpha). Essa forma não aparece entre as opções, e a única que bate com o resultado é a que usa \theta.

Alternativa E.

Pegadinha: As alternativas A e C enganam quem não nota que \alpha é medido a partir do eixo vertical e escolhe o ângulo errado ou troca seno por cosseno.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa \alpha, medido a partir do eixo vertical, como se fosse o ângulo com o eixo real; isso troca seno e cosseno.
  • Balém de usar \alpha, tem sinal negativo na parte imaginária, o que corresponde ao conjugado.
  • Ctroca seno e cosseno de \theta, colocando y/r na parte real e x/r na imaginária.
  • Dmistura \alpha com sinal negativo; daria -y na parte real e -x na imaginária, o que não corresponde a z.

Assunto: Números complexos.

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Ver como caiu na prova Questão 31 no caderno 1ª etapa da UFG 2004

Fonte: UFG 2004 · 1ª etapa. Prova oficial ↗