Questão 33 da UFG 2004

Monte as condições com b (bobinas) e c (cartuchos), ambos \geq 0.

1. Peso máximo: 0{,}3b + 0{,}25c \leq 75.
2. Ganho mínimo: 0{,}30b + 0{,}08c \geq 30.

A região do plano b \times c é a interseção dessas duas condições com o primeiro quadrante.

Retas de fronteira:

• Peso: 0{,}3b + 0{,}25c = 75 corta os eixos em b = 250 (com c=0) e em c = 300 (com b=0).
• Ganho: 0{,}3b + 0{,}08c = 30 corta os eixos em b = 100 (com c=0) e em c = 375 (com b=0).

O ganho mínimo exige ficar acima da reta do ganho, ou seja, do lado oposto à origem. O peso exige ficar abaixo da reta do peso, do lado da origem.

As retas se cruzam? Subtraindo as equações: 0{,}17c = 45, logo c \approx 264{,}7, e então b \approx 28{,}2. O cruzamento está no primeiro quadrante.

Vértices da região:

• (100, 0), na interseção da reta do ganho com o eixo b;
• (250, 0), na interseção da reta do peso com o eixo b;
• (28{,}2;\ 264{,}7), onde as retas se cruzam;
• (0, 300), na interseção da reta do peso com o eixo c;
• (0, 375) fica fora, pois está acima da reta do peso.

O ponto (0,300) satisfaz o peso, mas dá ganho 0{,}08\cdot300 = 24 < 30, então não serve. A região no eixo c não existe.

Portanto a região fica limitada por c=0, pela reta do peso (acima) e pela reta do ganho (à esquerda). Seus vértices são (100,0), (250,0) e (28{,}2;\ 264{,}7). É um triângulo no primeiro quadrante.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AA origem não satisfaz o ganho mínimo de R$ 30,00, então não pode ser vértice.
• BA interseção das condições é uma única região convexa, não dois triângulos.
• CAs retas de peso e ganho não são paralelas (coeficientes não proporcionais), e se cruzam.
• EO limite de 75 kg fecha a região, que é limitada.

Assunto: Inequações e desigualdades.

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