Questão 30 da UFG 2004

Question

Para medir a área de uma fazenda de forma triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos \text{A}(2,1), \text{B}(3,5) e \text{C}(7,4) do plano cartesiano, com as medidas em \text{km}. A área dessa fazenda, em \text{km}^2, é de

A
\dfrac{17}{2}
B
17
C
2\sqrt{17}
D
4\sqrt{17}
E
\dfrac{\sqrt{17}}{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 30 da UFG 2004

Prova objetiva · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Para medir a área de uma fazenda de forma triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos \text{A}(2,1), \text{B}(3,5) e \text{C}(7,4) do plano cartesiano, com as medidas em \text{km}. A área dessa fazenda, em \text{km}^2, é de

A
\dfrac{17}{2}
B
17
C
2\sqrt{17}
D
4\sqrt{17}
E
\dfrac{\sqrt{17}}{2}

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Resolução comentada

A área de um triângulo dado pelas coordenadas dos vértices sai do determinante: S=\dfrac{1}{2}\,|D|, em que D é o determinante da matriz com linhas (x, y, 1) de cada vértice.

Montando com A(2,1), B(3,5) e C(7,4):

D=\begin{vmatrix}2&1&1\\3&5&1\\7&4&1\end{vmatrix}

Diagonais principais: 2\cdot5\cdot1+1\cdot1\cdot7+1\cdot3\cdot4=10+7+12=29.
Diagonais secundárias: 1\cdot5\cdot7+2\cdot1\cdot4+1\cdot3\cdot1=35+8+3=46.
D=29-46=-17.
Área: S=\dfrac{1}{2}\,|-17|=\dfrac{17}{2}.

Conferindo pela base e altura: AB=\sqrt{1+16}=\sqrt{17} e AC=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}. Os vetores \vec{AB}=(1,4) e \vec{AC}=(5,3) dão o produto vetorial 1\cdot3-4\cdot5=-17, cujo módulo dividido por 2 é de novo \dfrac{17}{2}.

A área é 8{,}5\ \text{km}^2.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem calcula o determinante (-17), toma o módulo e esquece de dividir por 2.

Por que as outras alternativas estão erradas

BEsquece de multiplicar o determinante por 1/2, ficando com |D|=17.
CConfunde a área com uma distância, usando \sqrt{17} (lado AB) sem sentido geométrico para a área.
DMultiplica o comprimento \sqrt{17} de AB por um fator sem justificativa, misturando lado e área.
EUsa metade do lado AB como se fosse a área.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 30 no caderno 1ª etapa da UFG 2004

Fonte: UFG 2004 · 1ª etapa. Prova oficial ↗