Questão 9 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Um time de futebol conseguiu um terreno para seu futuro centro de treinamento (CT). O terreno tem a forma de um triângulo retângulo e suas dimensões são apresentadas na figura a seguir. O projeto de construção do CT prevê um muro ligando os pontos A e C.

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B, cateto adjacente BA medindo 3 hm, segmento BD medindo 2 hm no cateto vertical BC, e segmento AD.

Sabendo que o segmento AD é a bissetriz do ângulo com vértice em A, calcule a medida, em metros, do muro AC.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

2º semestre · 2º dia · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Um time de futebol conseguiu um terreno para seu futuro centro de treinamento (CT). O terreno tem a forma de um triângulo retângulo e suas dimensões são apresentadas na figura a seguir. O projeto de construção do CT prevê um muro ligando os pontos A e C.

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B, cateto adjacente BA medindo 3 hm, segmento BD medindo 2 hm no cateto vertical BC, e segmento AD.

Sabendo que o segmento AD é a bissetriz do ângulo com vértice em A, calcule a medida, em metros, do muro AC.

(5,0 pontos)

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Resposta esperada pela UFG

[Figura: Triângulo retângulo ABC com ângulo reto no vértice B. O cateto vertical BC contém o ponto D, dividindo-o em dois segmentos: CD de comprimento x e DB de comprimento 2 hm. O cateto horizontal AB mede 3 hm. Um segmento une os vértices A e D, e o segmento AC forma a hipotenusa.]

Pelo teorema da bissetriz interna, tem-se que

\frac{x}{\overline{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \overline{AC} = \frac{3}{2} x\text{ .}

Pelo teorema de Pitágoras, \overline{AC}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{AB}^2 .

Daí,

\frac{9}{4} x^2 = (2 + x)^2 + 3^2 \Rightarrow 5\ x^2 - 16\ x - 52 = 0 \Rightarrow x = \frac{16 \pm 36}{10}\text{ .}

Como x representa a medida de um segmento de reta, logo x = \frac{16 + 36}{10} = 5{,}2.

Como \overline{AC} = \frac{3}{2} x e x = 5{,}2, obtém-se que \overline{AC} = 7{,}8\ hm , que é equivalente a 780 metros.

(5,0 pontos)

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a) Use o teorema da bissetriz interna no triângulo ABC. Como AD é bissetriz do ângulo A, ela divide o lado oposto BC em partes proporcionais aos lados adjacentes:

\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}

Seja AC=x e DC=y, ambos em hm. Temos BD=2 e AB=3, então:

\frac{2}{y}=\frac{3}{x}\ \Rightarrow\ y=\frac{2x}{3}

O cateto BC mede BD+DC=2+\dfrac{2x}{3}. Pelo teorema de Pitágoras no triângulo ABC (reto em B):

x^2=3^2+\left(2+\frac{2x}{3}\right)^2

x^2=9+4+\frac{8x}{3}+\frac{4x^2}{9}

Multiplicando por 9:

9x^2=117+24x+4x^2\ \Rightarrow\ 5x^2-24x-117=0

O discriminante é \Delta=576+2340=2916=54^2. Logo:

x=\frac{24\pm54}{10}

A raiz negativa não serve, então x=\dfrac{78}{10}=7{,}8\ \text{hm}.

Conferência: DC=\dfrac{2\cdot 7{,}8}{3}=5{,}2 e BC=7{,}2. Então AC^2=9+51{,}84=60{,}84, e \sqrt{60{,}84}=7{,}8. Confere.

Como 1\ \text{hm}=100\ \text{m}, o muro mede 7{,}8\cdot100=780\ \text{m}.

AC=780\ \text{m}

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 9 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗