Questão 8 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Uma medalha, apresentada na figura a seguir, é fabricada retirando-se de um círculo de metal, a área que compreende a região sombreada (cinza escuro). Na figura, os pontos A, B, C, D, E e F são os vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência de centro O e raio 1\text{ cm}. Os arcos AF, FE, ED, DC, CB e BA são arcos de outras circunferências com raio igual a 1\text{ cm}.

Circunferência de centro O com vértices A, B, C, D, E e F de um hexágono regular inscrito, contendo em seu interior uma região sombreada em cinza escuro delimitada pelos arcos côncavos que unem os pares de vértices consecutivos

Nessas condições, calcule a área da região sombreada (cinza escuro).

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

2º semestre · 2º dia · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Uma medalha, apresentada na figura a seguir, é fabricada retirando-se de um círculo de metal, a área que compreende a região sombreada (cinza escuro). Na figura, os pontos A, B, C, D, E e F são os vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência de centro O e raio 1\text{ cm}. Os arcos AF, FE, ED, DC, CB e BA são arcos de outras circunferências com raio igual a 1\text{ cm}.

Circunferência de centro O com vértices A, B, C, D, E e F de um hexágono regular inscrito, contendo em seu interior uma região sombreada em cinza escuro delimitada pelos arcos côncavos que unem os pares de vértices consecutivos

Nessas condições, calcule a área da região sombreada (cinza escuro).

(5,0 pontos)

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Resposta esperada pela UFG

A área do segmento circular indicado na figura é igual à área do setor circular determinado pelo ângulo de medida igual a 60º subtraindo-se da área do triângulo equilátero OBA.

[Figura: Setor circular com vértice em O e extremidades em A e B, com ângulo de 60º assinalado em O, segmento de reta conectando A a B delimitando o triângulo equilátero OAB, e o arco AB delimitando o segmento circular.]

Indicando por S_3, S_2 e S_1 as áreas do segmento circular, do setor circular e do triângulo equilátero OAB, respectivamente, tem-se que

S_1 = \frac{\overline{OA}^2\sqrt{3}}{4}, \quad S_2 = \frac{\pi}{6}\overline{OA}^2 \quad \text{e} \quad S_3 = S_2 - S_1.

Como \overline{OA} = 1, obtém-se

S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4}, \quad S_2 = \frac{\pi}{6} \quad \text{e} \quad S_3 = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}.

Cada uma das regiões não sombreadas da medalha possuem área igual a 2 \cdot S_3.

Desse modo, indicando por S a área da região sombreada, tem-se que

S = \pi - 12 \cdot S_3 = \pi - 12\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = \pi - 2\pi + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - \pi.

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Resolução comentada

a) Um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 1\ \text{cm} tem lado igual ao raio, ou seja, 1\ \text{cm}. Ele é formado por 6 triângulos equiláteros de lado 1, com vértice em O.

Cada lado do hexágono, por exemplo AF, é corda de uma circunferência de raio 1\ \text{cm} (a circunferência que contém o arco AF da região sombreada). Essa circunferência tem centro O', o simétrico de O em relação a AF. Assim, O'AF também é equilátero e o arco AF mede 60^\circ. O arco curva-se para dentro, em direção a O. Logo, a região sombreada é o hexágono menos 6 segmentos circulares de 60^\circ e raio 1.

Área do hexágono: 6\cdot\dfrac{1^2\sqrt3}{4}=\dfrac{3\sqrt3}{2}.
Área de um segmento circular: setor de 60^\circ menos o triângulo equilátero, ou seja, \dfrac{\pi\cdot1^2}{6}-\dfrac{\sqrt3}{4}.
Área dos 6 segmentos: 6\left(\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt3}{4}\right)=\pi-\dfrac{3\sqrt3}{2}.
Área sombreada:

A=\frac{3\sqrt3}{2}-\left(\pi-\frac{3\sqrt3}{2}\right)=3\sqrt3-\pi.

Numericamente, A\approx 2{,}05\ \text{cm}^2.

A=(3\sqrt3-\pi)\ \text{cm}^2

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 8 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗