PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2014
Considerando os números complexos z e w tais que z+w=(9-3\sqrt{3})+i(9-3\sqrt{3}) e z-w=(-3+3\sqrt{3})+i(3-3\sqrt{3}), determine a área do paralelogramo de lados z e w, sabendo-se que o ângulo entre eles é \frac{\pi}{3}.
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Resolução comentada
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a) Primeiro, achamos z e w somando e subtraindo as duas igualdades dadas.
Somando: 2z=(9-3\sqrt{3})+(-3+3\sqrt{3})+i\big[(9-3\sqrt{3})+(3-3\sqrt{3})\big]=6+i(12-6\sqrt{3}), logo
Subtraindo: 2w=(9-3\sqrt{3})-(-3+3\sqrt{3})+i\big[(9-3\sqrt{3})-(3-3\sqrt{3})\big]=(12-6\sqrt{3})+6i, logo
Agora calculamos os módulos:
O mesmo vale para w, então |z|=|w| e |z||w|=72-36\sqrt{3}.
Conferindo o ângulo dado: \text{Re}(z\bar w)=3(6-3\sqrt{3})+(6-3\sqrt{3})\cdot 3=36-18\sqrt{3}, que é metade de |z||w|. Portanto \cos\theta=\tfrac12 e \theta=\pi/3, como o enunciado diz.
A área do paralelogramo é |z||w|\,\sen\theta:
Numericamente, A\approx 8{,}35.
Área =36\sqrt{3}-54=18(2\sqrt{3}-3) (unidades de área).
Assuntos: Números complexos, Áreas e perímetros de polígonos.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗