Questão 1 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k, ao ser pendurado verticalmente, atinge o equilíbrio quando a mola sofre uma elongação x_e. Em seguida, o bloco é desacoplado da mola e esse arranjo é montado sobre uma mesa horizontal sem atrito, conforme a figura apresentada a seguir.

Nessa situação, a mola com o bloco é comprimida de x_m e depois solta. O bloco de massa m colide com o bloco de massa M, que se encontra em repouso na extremidade da mesa, e fica preso a ele. Os dois blocos caem a uma distância x da extremidade da mesa. Sabe-se que a razão h/x_e = 200, que M/m = 3 e que g = 10\ \text{m/s}^2. Considerando o exposto, determine:

a) o valor de x_e, em metros, para um tempo de queda de 1{,}0\ \text{s}, e a razão m/k; (2,0 pontos)

b) a razão x/x_m, para um tempo de queda qualquer. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2014

2º semestre · 2º dia · Física: Colisões

Um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k, ao ser pendurado verticalmente, atinge o equilíbrio quando a mola sofre uma elongação x_e. Em seguida, o bloco é desacoplado da mola e esse arranjo é montado sobre uma mesa horizontal sem atrito, conforme a figura apresentada a seguir.

Nessa situação, a mola com o bloco é comprimida de x_m e depois solta. O bloco de massa m colide com o bloco de massa M, que se encontra em repouso na extremidade da mesa, e fica preso a ele. Os dois blocos caem a uma distância x da extremidade da mesa. Sabe-se que a razão h/x_e = 200, que M/m = 3 e que g = 10\ \text{m/s}^2. Considerando o exposto, determine:

a) o valor de x_e, em metros, para um tempo de queda de 1{,}0\ \text{s}, e a razão m/k; (2,0 pontos)

b) a razão x/x_m, para um tempo de queda qualquer. (3,0 pontos)

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Para uma queda livre tem-se que h = g t^2 / 2, logo, para um tempo de queda de 1{,}0\text{ s} obtém-se que h = 5\text{ m}. Portanto, como h/x_e = 200, segue imediatamente que x_e = 0{,}025\text{ m}.

Da condição de equilíbrio tem-se que mg = k x_e, logo m/k = x_e / g = 0{,}025\text{ s}^2.

b) Da conservação da energia tem-se: \frac{1}{2} k x_m^2 = \frac{1}{2} m v^2 \rightarrow v = \sqrt{\frac{k}{m}} x_m

Da conservação da quantidade de movimento tem-se: mv + 0 = (M+m) V logo V = \frac{m}{M+m} v, como M=3m segue que V = \frac{m}{3m+m} v = \frac{1}{4} v.

Do lançamento horizontal, tem-se: x = V \cdot t_q onde o tempo de queda é dado por t_q = \sqrt{\frac{2h}{g}}, logo x = \frac{1}{4} v \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{1}{4} x_m \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{1}{4} x_m \sqrt{\frac{k}{m} \cdot \frac{2h}{g}}

Da condição de equilíbrio tem-se que \frac{k}{m} = \frac{g}{x_e} da qual segue então que \frac{x}{x_m} = \frac{1}{4} \sqrt{2 \cdot \frac{h}{x_e}} e como h/x_e = 200, obtém-se que \frac{x}{x_m} = \frac{1}{4} \sqrt{2 \cdot 200} = 5

Ver no site da UFG ↗

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a)

Os blocos deixam a mesa com velocidade vertical inicial nula. Assim, o movimento vertical é uma queda livre, e a altura da mesa pode ser calculada pelo tempo de queda:

h=\frac{gt^2}{2}=\frac{10\cdot(1{,}0)^2}{2}=5{,}0\ \text{m}.

Como o enunciado fornece h/x_e=200, a elongação de equilíbrio é:

x_e=\frac{h}{200}=\frac{5{,}0}{200}=0{,}025\ \text{m}.

Para obter a razão m/k, usamos a situação inicial: com o bloco pendurado em equilíbrio, a força elástica equilibra o peso. Portanto,

kx_e=mg\quad\Rightarrow\quad\frac{m}{k}=\frac{x_e}{g}=\frac{0{,}025}{10}=2{,}5\times10^{-3}\ \text{s}^2.

Logo, x_e=0{,}025\ \text{m} e \dfrac{m}{k}=2{,}5\times10^{-3}\ \text{s}^2.

b)

Durante a expansão da mola, a energia mecânica se conserva, pois não há atrito. Ao atingir o comprimento natural, a mola deixa de empurrar o bloco, que segue com velocidade v até a colisão:

\frac{kx_m^2}{2}=\frac{mv^2}{2}\quad\Rightarrow\quad v=x_m\sqrt{\frac{k}{m}}.

Na colisão, os blocos ficam unidos: ela é perfeitamente inelástica. Conserva-se a quantidade de movimento horizontal, mas não a energia cinética. Como M=3m, a velocidade conjunta V é:

mv=(m+M)V\quad\Rightarrow\quad V=\frac{v}{4}.

Após a colisão, o movimento horizontal é uniforme. Usando o tempo de queda t=\sqrt{2h/g}, obtemos:

\frac{x}{x_m}=\frac{Vt}{x_m}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{\frac{2h}{g}}.

Do equilíbrio vertical, k/m=g/x_e. Assim,

\frac{x}{x_m}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{2h}{x_e}}=\frac{1}{4}\sqrt{2\cdot200}=5.

O resultado depende das razões fornecidas, sem exigir um valor específico para o tempo de queda.

Portanto, \dfrac{x}{x_m}=5.

Assuntos: Colisões, Lançamento horizontal e oblíquo, Energia mecânica e sua conservação.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 1 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗