Questão 14 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Na figura a seguir, o círculo de centro O representa um terreno, o triângulo CDE uma piscina e a região sombreada um gramado.

Círculo de centro O com dois diâmetros, AB e CE. Um segmento liga C a D na circunferência, cruzando o raio OB perpendicularmente no ponto F, indicado com símbolo de ângulo reto. Um segmento liga D a E, formando o triângulo CDE. A região sombreada compreende o semicírculo delimitado pelo diâmetro AB que contém o ponto C, exceto pela área do triângulo retângulo CFO.

Sabendo que AB e CE são diâmetros do círculo, que a medida do segmento DE é igual a 6 metros, que o ângulo DCE mede 30 graus, e que AB é perpendicular ao segmento CD, calcule a área da região correspondente ao gramado.

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Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2014

2º semestre · 1º dia · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Na figura a seguir, o círculo de centro O representa um terreno, o triângulo CDE uma piscina e a região sombreada um gramado.

Círculo de centro O com dois diâmetros, AB e CE. Um segmento liga C a D na circunferência, cruzando o raio OB perpendicularmente no ponto F, indicado com símbolo de ângulo reto. Um segmento liga D a E, formando o triângulo CDE. A região sombreada compreende o semicírculo delimitado pelo diâmetro AB que contém o ponto C, exceto pela área do triângulo retângulo CFO.

Sabendo que AB e CE são diâmetros do círculo, que a medida do segmento DE é igual a 6 metros, que o ângulo DCE mede 30 graus, e que AB é perpendicular ao segmento CD, calcule a área da região correspondente ao gramado.

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Resposta esperada pela UFG

Da semelhança entre os triângulos OFC e EDC tem-se que

\frac{\overline{OF}}{\overline{DE}} = \frac{\overline{OC}}{\overline{CE}} \Rightarrow \frac{\overline{OF}}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow OF = 3\text{m}.

[Figura: Círculo de centro O e diâmetro AB. Na parte esquerda, o semicírculo formado pelo diâmetro AB contém o ponto C na circunferência e está parcialmente sombreado. Os segmentos de reta CE e CD partem de C e cruzam o diâmetro AB; CD cruza AB perpendicularmente no ponto F, formando o triângulo retângulo OFC (com ângulo reto em F), que não está sombreado. Os pontos D e E estão na circunferência, do lado direito de AB.]

Como o ângulo DCE tem medida igual a 30^0\text{ o}

\cos(30^0) = \frac{\overline{CF}}{6} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\overline{CF}}{6} \Rightarrow \overline{CF} = 3\sqrt{3}.

A área da região sombreada corresponde à área do semicírculo de raio 6m e centro O subtraída a área do triângulo OFC. Chamando S a área da região sombreada,

S = \pi\frac{\overline{OA}^2}{2} - \frac{\overline{CF}\cdot\overline{OF}}{2} = \frac{6^2\pi}{2} - \frac{3\sqrt{3}\cdot 3}{2} = \frac{36\,\pi}{2} - \frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{9(4\,\pi - \sqrt{3})}{2}.

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Resolução comentada

a) Como CE é diâmetro, o ângulo C\hat{D}E está inscrito numa semicircunferência e mede 90^\circ. Assim, CDE é retângulo em D.

No triângulo CDE, o lado DE é oposto ao ângulo de 30^\circ:

\sen 30^\circ=\frac{DE}{CE}\Rightarrow \frac12=\frac{6}{CE}\Rightarrow CE=12\ \text{m}

Logo, o raio é R=6 m. Além disso, CD=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3 m.

O diâmetro AB é perpendicular à corda CD, então passa pelo ponto médio F da corda. Portanto, CF=3\sqrt3 m.

No triângulo retângulo CFO, com CO=6:

OF=\sqrt{6^2-(3\sqrt3)^2}=\sqrt{36-27}=3\ \text{m}

A área desse triângulo é:

A_{CFO}=\frac{CF\cdot OF}{2}=\frac{3\sqrt3\cdot 3}{2}=\frac{9\sqrt3}{2}\ \text{m}^2

O gramado é o semicírculo de diâmetro AB que contém C, sem o triângulo CFO. A área do semicírculo é:

\frac{\pi R^2}{2}=\frac{36\pi}{2}=18\pi\ \text{m}^2

Portanto:

A_{gramado}=18\pi-\frac{9\sqrt3}{2}\ \text{m}^2\approx 48{,}8\ \text{m}^2

Área do gramado: \left(18\pi-\dfrac{9\sqrt3}{2}\right)\ \text{m}^2

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Triângulos: congruência e pontos notáveis, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Questão 14 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 2º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗