Questão 13 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Os neurônios são células especializadas na condução de impulsos nervosos (sinais elétricos), e o sistema nervoso contém um grande número de neurônios que ligam-se para formar uma rede complexa. Para compreender a complexidade dessa rede, considere uma associação de infinitos resistores de resistências r, conforme ilustrado na FIGURA 1 a seguir.

FIGURA 1: Diagrama de um circuito elétrico com terminais A e B à esquerda, formado por uma malha infinita de resistores de resistência r, indicada por reticências no meio e à direita. Cada malha quadrada possui resistores r nos ramos superior, inferior e verticais.

FIGURA 2: Diagrama de um circuito elétrico equivalente com terminais A e B à esquerda, contendo um resistor vertical de resistência r em paralelo com um ramo formado por dois resistores horizontais de resistência r (um superior e um inferior) em série com um resistor vertical de resistência Re à direita.

Considerando o exposto, determine:

a) a resistência equivalente do circuito representado na FIGURA 2; (2,0 pontos)

b) a resistência equivalente do circuito infinito representado na FIGURA 1, considerando que ao se adicionar mais um elemento ao circuito isso não alterará sua resistência equivalente. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2014

2º semestre · 1º dia · Física: Associação de resistores

Os neurônios são células especializadas na condução de impulsos nervosos (sinais elétricos), e o sistema nervoso contém um grande número de neurônios que ligam-se para formar uma rede complexa. Para compreender a complexidade dessa rede, considere uma associação de infinitos resistores de resistências r, conforme ilustrado na FIGURA 1 a seguir.

FIGURA 1: Diagrama de um circuito elétrico com terminais A e B à esquerda, formado por uma malha infinita de resistores de resistência r, indicada por reticências no meio e à direita. Cada malha quadrada possui resistores r nos ramos superior, inferior e verticais.

FIGURA 2: Diagrama de um circuito elétrico equivalente com terminais A e B à esquerda, contendo um resistor vertical de resistência r em paralelo com um ramo formado por dois resistores horizontais de resistência r (um superior e um inferior) em série com um resistor vertical de resistência Re à direita.

Considerando o exposto, determine:

a) a resistência equivalente do circuito representado na FIGURA 2; (2,0 pontos)

b) a resistência equivalente do circuito infinito representado na FIGURA 1, considerando que ao se adicionar mais um elemento ao circuito isso não alterará sua resistência equivalente. (3,0 pontos)

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) [Figura: Esquema de circuito elétrico mostrando os terminais A e B à esquerda, um resistor vertical de resistência r em paralelo, dois resistores de resistência r nos condutores superior e inferior, e um resistor vertical de resistência R_e fechando o circuito à direita.]

A resistência equivalente do circuito ao lado é dada por:

R_{eq}=\frac{r\cdot(R_e+2r)}{R_e+3r}

b) Considerando agora que R_{eq}=R_e tem-se que:

R_e=\frac{r\cdot(R_e+2r)}{R_e+3r}\rightarrow R_e\cdot(R_e+3r)=r\cdot(R_e+2r)\rightarrow R_e^2+3r\cdot R_e-r\cdot R_e-2r^2=0\rightarrow R_e^2+2r\cdot R_e-2r^2=0

Essa equação do segundo grau para R_e tem as seguintes raízes: R_e=\frac{-2r\pm\sqrt{4r^2+8r^2}}{2}=r\cdot(-1\pm\sqrt{3}).

Como a resistência não pode ser negativa, tem-se então que: R_e=r\cdot(\sqrt{3}-1)

Ver no site da UFG ↗

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Na FIGURA 2, o resistor vertical r da esquerda está ligado direto entre A e B. O outro ramo parte de A, passa por r (superior), por R_e (vertical da direita) e por r (inferior) até B. Esses três resistores estão em série, então esse ramo vale:

R_{ramo} = r + R_e + r = 2r + R_e

Esse ramo fica em paralelo com o resistor r da esquerda:

R_{eq} = \frac{r\,(2r+R_e)}{r + 2r + R_e} = \frac{r\,(2r+R_e)}{3r+R_e}

R_{eq} = \dfrac{r(2r+R_e)}{3r+R_e}

b) Na rede infinita, a primeira malha (um resistor vertical r na entrada, mais r em cima e r embaixo) é seguida pelo resto da rede. Retirando essa primeira malha, o que sobra é idêntico à rede inteira, pois ela é infinita. Então a parte à direita tem a mesma resistência equivalente R da rede toda.

Isso corresponde à FIGURA 2 com R_e = R. Como acrescentar um elemento não altera a resistência equivalente, temos R_{eq} = R_e = R:

R = \frac{r\,(2r+R)}{3r+R}

Multiplicando os dois lados por 3r+R: R(3r+R) = 2r^2 + rR
Desenvolvendo: 3rR + R^2 = 2r^2 + rR
Reorganizando: R^2 + 2rR - 2r^2 = 0
Resolvendo: R = \dfrac{-2r \pm \sqrt{4r^2 + 8r^2}}{2} = r(-1 \pm \sqrt{3})

A resistência não pode ser negativa, então ficamos com a raiz positiva:

R = r(\sqrt{3}-1) \approx 0{,}73\,r

Assunto: Associação de resistores.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 13 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 2º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗