Questão 14 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Devido às condições geográficas de uma cidade, um motorista, em seu veículo, desloca-se pelas ruas somente nas direções norte-sul e leste-oeste, alternando o deslocamento entre essas direções. Cada um desses deslocamentos foi medido em intervalos iguais de tempo, nas duas direções e com o mesmo número de medições em ambas, obtendo-se os seguintes dados:

direção norte-sul: x_1 = 1\text{ km}, x_2 = 3\text{ km} e x_3 = 5\text{ km};
direção leste-oeste: y_1 = 1\text{ km}, y_2 = 2\text{ km} e y_3 = 4\text{ km}.

Sabendo que o motorista inicia seu deslocamento na direção norte-sul, que este padrão de deslocamento manteve-se ao longo de todo o percurso e que a soma das distâncias percorridas no sentido norte-sul foi de 36 km, determine a soma dos deslocamentos do motorista, em km, no sentido leste-oeste.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2014

2º semestre · 1º dia · Matemática: Progressão geométrica

Devido às condições geográficas de uma cidade, um motorista, em seu veículo, desloca-se pelas ruas somente nas direções norte-sul e leste-oeste, alternando o deslocamento entre essas direções. Cada um desses deslocamentos foi medido em intervalos iguais de tempo, nas duas direções e com o mesmo número de medições em ambas, obtendo-se os seguintes dados:

direção norte-sul: x_1 = 1\text{ km}, x_2 = 3\text{ km} e x_3 = 5\text{ km};
direção leste-oeste: y_1 = 1\text{ km}, y_2 = 2\text{ km} e y_3 = 4\text{ km}.

Sabendo que o motorista inicia seu deslocamento na direção norte-sul, que este padrão de deslocamento manteve-se ao longo de todo o percurso e que a soma das distâncias percorridas no sentido norte-sul foi de 36 km, determine a soma dos deslocamentos do motorista, em km, no sentido leste-oeste.

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Resposta esperada pela UFG

Na direção norte-sul, o padrão de deslocamento é dado por x_2 - x_1 = x_3 - x_2 = 2 e se mantém, quando os deslocamentos são medidos em intervalos iguais de tempo. Assim, o motorista desloca-se, na direção norte-sul, segundo uma progressão aritmética com termo inicial x_1 = 1 e razão R = 2, cuja soma desses deslocamentos, S_{\text{N-S}}, até o n-ésimo deslocamento, é 36\text{ km}. Assim, obtém-se

S_{\text{N-S}} = n^2 = 36.

Resolvendo essa equação, em n, obtém-se n = 6.

Já na direção leste-oeste, o padrão de deslocamento é dado por: y_2/y_1 = y_3/y_2 = 2, de onde conclui-se que se trata de uma progressão geométrica com termo inicial y_1 = 1 e razão R = 2. O deslocamento total, nessa direção, é dado pela soma dos n primeiros termos desta progressão geométrica, que é dada por

S_{\text{L-O}} = 2^n - 1.

Substituindo-se n = 6, nesta equação, obtém-se que o deslocamento no sentido leste-oeste, em km, é 63.

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a) Nos dados do enunciado, os deslocamentos norte-sul são 1, 3, 5, que formam uma progressão aritmética (PA) de primeiro termo 1 e razão 2. Os deslocamentos leste-oeste são 1, 2, 4, que formam uma progressão geométrica (PG) de primeiro termo 1 e razão 2. O enunciado diz que esse padrão se mantém ao longo de todo o percurso.

Passo 1: quantas medições há na direção norte-sul. A soma dos n primeiros termos da PA é

S_n=\frac{(1+(2n-1))\,n}{2}=n^2.

Como a soma norte-sul é 36\ \text{km}, temos n^2=36, logo n=6.

Passo 2: número de medições leste-oeste. O enunciado diz que o número de medições é o mesmo nas duas direções. Então a PG também tem 6 termos: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Passo 3: soma da PG.

S=\frac{1\cdot(2^6-1)}{2-1}=63.

Conferindo: 1+2+4+8+16+32=63.

A soma dos deslocamentos leste-oeste é 63 km.

Assuntos: Progressão geométrica, Progressão aritmética.

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Questão 14 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗