Questão 13 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Um caçador de tesouros encontrou um mapa que indicava a localização exata de um tesouro com as seguintes instruções:

“Partindo da pedra grande e seguindo 750 passos na direção norte, 500 passos na direção leste e 625 passos na direção nordeste, um tesouro será encontrado.”

Para localizar o tesouro, ele utilizou um plano cartesiano, representado pela figura a seguir. Neste plano a escala utilizada foi de 1:100, as medidas são dadas em centímetros e o ponto A representa a pedra grande indicada nas instruções.

Plano cartesiano com malha quadriculada pontilhada. O eixo horizontal é rotulado como leste(cm), graduado de -10 a 10 de 1 em 1 unidade, e o eixo vertical é rotulado como norte(cm), graduado de -2 a 12 de 1 em 1 unidade. Na origem (0, 0), no cruzamento dos dois eixos, está marcado o ponto A.

Considerando que um passo mede 80\ \text{cm}, encontre as coordenadas, no plano cartesiano, do ponto onde se encontra o tesouro e calcule a distância percorrida, em metros, pelo caçador de tesouros para encontrá-lo.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2014

2º semestre · 1º dia · Matemática: Escala

Um caçador de tesouros encontrou um mapa que indicava a localização exata de um tesouro com as seguintes instruções:

“Partindo da pedra grande e seguindo 750 passos na direção norte, 500 passos na direção leste e 625 passos na direção nordeste, um tesouro será encontrado.”

Para localizar o tesouro, ele utilizou um plano cartesiano, representado pela figura a seguir. Neste plano a escala utilizada foi de 1:100, as medidas são dadas em centímetros e o ponto A representa a pedra grande indicada nas instruções.

Plano cartesiano com malha quadriculada pontilhada. O eixo horizontal é rotulado como leste(cm), graduado de -10 a 10 de 1 em 1 unidade, e o eixo vertical é rotulado como norte(cm), graduado de -2 a 12 de 1 em 1 unidade. Na origem (0, 0), no cruzamento dos dois eixos, está marcado o ponto A.

Considerando que um passo mede 80\ \text{cm}, encontre as coordenadas, no plano cartesiano, do ponto onde se encontra o tesouro e calcule a distância percorrida, em metros, pelo caçador de tesouros para encontrá-lo.

(5,0 pontos)

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Como cada passo equivale a 80\text{ cm}, 750 passos equivalem a 750 \times 0{,}8 = 600\text{ metros}. Considerando que a escala é 1:100, 750 passos na direção norte equivalem a 6\text{ cm} na vertical a partir do ponto A, encontrando o ponto \text{B}(0,6). Da mesma forma, passos equivalem a 500 \times 0{,}8 = 400\text{ metros}. Usando a escala, a partir de B, 500 passos na direção leste equivalem a 4\text{ cm} na horizontal, encontrando o ponto \text{C}(4,6).

Por outro lado, 625 passos equivalem a 625 \times 0{,}8 = 500\text{ metros}. Usando a escala, a partir de C, 625 passos na direção nordeste equivalem a 5\text{ cm} na hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles. Indicando-se por x a medida dos catetos, pelo Teorema de Pitágoras tem-se que

x^2 + x^2 = 5^2 \Leftrightarrow 2x^2 = 25 \quad \text{de onde obtém-se} \quad x = \frac{5}{\sqrt{2}}

Desta forma, as coordenadas do ponto onde se encontra o tesouro são x = 4 + \frac{5}{\sqrt{2}} e y = 6 + \frac{5}{\sqrt{2}}.

Para obter a distância percorrida pelo caçador de tesouros basta somar as distâncias encontradas em cada um dos trechos, que são: 600 + 400 + 500 = 1500\text{ metros}.

(5,0 pontos)

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Primeiro convertemos os passos em centímetros reais e depois aplicamos a escala 1:100, em que 1 cm no plano vale 100 cm reais, ou seja, 1 m.

750 passos ao norte: 750\cdot 80 = 60\,000\ \text{cm} reais, que dá 600\ \text{cm} ÷ 100 = 6\ \text{cm} no plano.
500 passos a leste: 500\cdot 80 = 40\,000\ \text{cm} reais, que dá 4\ \text{cm} no plano.
625 passos a nordeste: 625\cdot 80 = 50\,000\ \text{cm} reais, que dá 5\ \text{cm} no plano.

Nordeste é a direção da bissetriz entre norte e leste, a 45^\circ do eixo horizontal. Esse deslocamento de 5\ \text{cm} tem então componentes iguais em x e em y:

5\cos 45^\circ = 5\sen 45^\circ = \frac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3{,}54\ \text{cm}

Saindo de A=(0,0): norte leva a (0,6), leste leva a (4,6) e nordeste leva a

\left(4+\frac{5\sqrt2}{2},\ 6+\frac{5\sqrt2}{2}\right)\approx(7{,}5;\ 9{,}5).

A distância percorrida é a soma dos três trechos, e não a distância em linha reta de A ao tesouro:

750+500+625 = 1875\ \text{passos}

1875\cdot 0{,}80\ \text{m} = 1500\ \text{m}

Conferindo no plano: 6+4+5=15\ \text{cm}, que correspondem a 1500\ \text{m}.

O tesouro está em \left(4+\dfrac{5\sqrt2}{2},\ 6+\dfrac{5\sqrt2}{2}\right) cm, aproximadamente (7{,}5;\ 9{,}5), e o caçador percorre 1500\ \text{m}.

Assuntos: Escala, Unidades de medida e conversões, Trigonometria no triângulo retângulo.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 13 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗