Questão 9 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

Com base no polinômio p(x) = x^4 - 25,

a) determine os valores de x, no conjunto dos números reais, tais que p(x) < 0; (1,0 ponto)

b) escreva p(x) como um produto de três polinômios com coeficientes reais; (2,0 pontos)

c) considerando-se a representação dos números complexos em um plano cartesiano, calcule a área do polígono cujos vértices são as raízes de p(x). (2,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

2º semestre · 2º dia · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Com base no polinômio p(x) = x^4 - 25,

a) determine os valores de x, no conjunto dos números reais, tais que p(x) < 0; (1,0 ponto)

b) escreva p(x) como um produto de três polinômios com coeficientes reais; (2,0 pontos)

c) considerando-se a representação dos números complexos em um plano cartesiano, calcule a área do polígono cujos vértices são as raízes de p(x). (2,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Para x^4 - 25 < 0, deve-se ter x^4 < 25. Desse modo,

(x^2)^2 < 25 \Leftrightarrow -5 < x^2 < 5 \Leftrightarrow x^2 < 5 \Leftrightarrow -\sqrt{5} < x < \sqrt{5}

(1,0 ponto)

b) Fatorando-se a diferença de quadrados, obtém-se

x^4 - 25 = (x^2)^2 - 5^2 = (x^2 - 5)(x^2 + 5) = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x^2 + 5)

e o último fator à direita não possui raízes reais, logo é irredutível no conjunto dos números reais.
(2,0 pontos)

c) Para se obter as raízes, observa-se que

x^4 - 25 = 0 \Leftrightarrow x^4 = 25 \Leftrightarrow x^2 = \pm 5

Então, as quatro raízes do polinômio são dadas por

x^2 = 5 \Leftrightarrow x = \pm\sqrt{5} \quad \text{e} \quad x^2 = -5 \Leftrightarrow x = \pm i\sqrt{5}

No plano complexo, estes quatro números são vértices de um quadrado, cujas diagonais estão sobre os eixos e cruzam-se na origem. O lado, \ell, desse quadrado é tal que \ell^2 = \sqrt{5}^2 + \sqrt{5}^2 = 10 . Portanto, a área do polígono que tem por vértices as raízes do polinômio é de 10 unidades de área.
(2,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Queremos x^4 < 25. Como x^4 = (x^2)^2 e x^2\ge 0, a desigualdade equivale a x^2 < 5, ou seja, |x| < \sqrt5.

Outro caminho: p(x) = (x^2-5)(x^2+5). O fator x^2+5 é sempre positivo, então o sinal de p é o sinal de x^2-5, que é negativo entre as raízes -\sqrt5 e \sqrt5.

-\sqrt5 < x < \sqrt5

b) Usamos a diferença de quadrados:

x^4-25 = (x^2-5)(x^2+5)

O fator x^2+5 não tem raízes reais, então é irredutível nos reais. Já x^2-5 pode ser fatorado de novo, pois 5=(\sqrt5)^2:

x^2-5 = (x-\sqrt5)(x+\sqrt5)

Assim obtemos três polinômios de coeficientes reais:

p(x) = (x-\sqrt5)(x+\sqrt5)(x^2+5)

c) As raízes vêm de cada fator:

x-\sqrt5=0 \Rightarrow x=\sqrt5;
x+\sqrt5=0 \Rightarrow x=-\sqrt5;
x^2+5=0 \Rightarrow x=\pm i\sqrt5.

No plano complexo, os pontos são (\sqrt5,0), (-\sqrt5,0), (0,\sqrt5) e (0,-\sqrt5). Eles formam um quadrado com diagonais sobre os eixos, cada uma medindo d=2\sqrt5.

A área de um losango (ou quadrado) é metade do produto das diagonais:

A=\frac{d\cdot d}{2}=\frac{(2\sqrt5)^2}{2}=\frac{20}{2}=10

Conferindo pelo lado: \ell=\sqrt{(\sqrt5)^2+(\sqrt5)^2}=\sqrt{10}, e \ell^2=10.

Área = 10 unidades de área

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Números complexos, Polinômios.

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Questão 9 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗