Questão 8 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

Um agricultor pretende dividir um terreno em duas partes que possuam a mesma área. A figura a seguir representa o terreno e a divisão deve ser feita ao longo da linha vertical tracejada.

Representação de um terreno na forma de um polígono com base horizontal de 300 m. No lado esquerdo, há um segmento vertical de 100 m perpendicular à base. No topo à direita, há um vértice cujo ângulo interno mede 45° em relação ao lado vertical direito, que também é perpendicular à base. Uma linha vertical tracejada divide o terreno a uma distância horizontal x da margem esquerda.

Considerando-se o exposto, determine o valor de x, com precisão de uma casa decimal. (5,0 pontos)

Dado: \sqrt{34} = 5{,}83

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

2º semestre · 2º dia · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Um agricultor pretende dividir um terreno em duas partes que possuam a mesma área. A figura a seguir representa o terreno e a divisão deve ser feita ao longo da linha vertical tracejada.

Representação de um terreno na forma de um polígono com base horizontal de 300 m. No lado esquerdo, há um segmento vertical de 100 m perpendicular à base. No topo à direita, há um vértice cujo ângulo interno mede 45° em relação ao lado vertical direito, que também é perpendicular à base. Uma linha vertical tracejada divide o terreno a uma distância horizontal x da margem esquerda.

Considerando-se o exposto, determine o valor de x, com precisão de uma casa decimal. (5,0 pontos)

Dado: \sqrt{34} = 5{,}83

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Resposta esperada pela UFG

Considerando-se os pontos destacados na figura a seguir, os triângulos ADM e AEN são isósceles, logo DM = x e \text{EN} = 300.

[Figura: Diagrama geométrico ilustrando o terreno com os vértices B, C e F na base horizontal inferior de comprimento total 300\text{ m}, onde a distância de B a C mede x. No lado esquerdo, segmento vertical AB = 100\text{ m}. Uma linha horizontal pontilhada parte de A, cruza o segmento vertical tracejado CD no ponto M e atinge o lado vertical direito EF no ponto N. O segmento superior inclinado vai de A até E, passando pelo ponto D, com ângulos de 45^\circ no vértice A e no vértice E. Os ângulos em B, C, F e N são retos, dividindo o terreno nas regiões (1) trapézio ABCD e (2) trapézio CDEF.]

Os trapézios ABCD e CDEF possuem áreas

A_1 = \frac{(100 + (100 + x))x}{2} = \frac{200\,x + x^2}{2} \quad \text{e}

A_2 = \frac{(500 + x)(300 - x)}{2} = \frac{150000 - 200\,x - x^2}{2},

respectivamente. Igualando-se as áreas, obtém-se a equação de segundo grau 2\,x^2 + 400\,x - 15 \cdot 10^4 = 0. Resolvendo-se essa equação, obtém-se a única solução positiva, x = 191{,}5, que realiza a divisão do terreno em duas partes com áreas iguais.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Como o ângulo de 45^\circ está entre a linha inclinada e o lado vertical direito, a linha superior sobe 1 m para cada 1 m na horizontal. Do lado esquerdo até o direito (300 m), a altura aumenta 300 m. Então o lado direito mede 100+300=400 m.

Área total (trapézio de bases 100 m e 400 m e altura 300 m):

A=\frac{(100+400)\cdot 300}{2}=75\,000\ \text{m}^2

Cada parte deve ter 37\,500\ \text{m}^2.

A parte da esquerda é um trapézio de largura x. Seu lado esquerdo mede 100 m e o lado da linha tracejada mede 100+x (pelo mesmo declive de 45^\circ). Sua área é:

\frac{(100+100+x)\cdot x}{2}=37\,500 \Rightarrow x^2+200x-75\,000=0

Resolvendo:

x=\frac{-200+\sqrt{40\,000+300\,000}}{2}=\frac{-200+100\sqrt{34}}{2}=-100+50\sqrt{34}

Com \sqrt{34}=5{,}83: x=-100+291{,}5=191{,}5.

Verificação: a raiz negativa não serve, e 0<191{,}5<300 está dentro do terreno.

x\approx 191{,}5\ \text{m}

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Equação do 2º grau.

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Questão 8 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗