Questão 10 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

Resolução comentada

a) Vamos analisar o circuito a partir do fim, pois a estrutura se repete.

Seja n o número de nós com resistor 2R em paralelo. Depois do último nó vem um R em série e o último R em paralelo (o do voltímetro).

1. Depois do último nó, a resistência equivalente é R+R=2R. Em paralelo com o 2R do próprio nó, resulta \dfrac{2R\cdot 2R}{2R+2R}=R.
2. Portanto, a tensão no último resistor é metade da tensão desse nó, pois R em série com R forma um divisor de tensão.
3. Para o nó anterior, vale o mesmo raciocínio: o ramo à direita dele vale R (série) +\,R (equivalente do nó seguinte) =2R. Em paralelo com o 2R do nó, dá de novo R. Assim, a tensão de cada nó é a metade da tensão do nó anterior.
4. O mesmo ocorre na fonte: o primeiro R em série com o equivalente R do primeiro nó divide a tensão ao meio, então V_1=\dfrac{192}{2}.

Logo, V_k=\dfrac{192}{2^k} no nó k, e a tensão no último resistor é

Impondo 1{,}5\ \text{V}:

Teste com n=1: V_1=96\ \text{V} e a tensão final é 48\ \text{V}=192/2^2, o que confere.

Contagem dos resistores:

• R em série: um antes de cada nó e mais um no final, n+1=7;
• 2R em paralelo: n=6;
• R em paralelo, do voltímetro: 1.

Total: 7+6+1=14 resistores.

O dispositivo tem 14 resistores.

Assunto: Progressão geométrica.

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