Questão 8 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

O tempo necessário para um veículo parar, em uma situação de emergência, é, normalmente, calculado pela soma de dois componentes: o tempo de reação do condutor e o tempo de frenagem. O primeiro, considerado constante, é o tempo médio decorrido desde o momento em que o condutor percebe o obstáculo até o momento em que os freios são acionados e entram em funcionamento. O tempo de frenagem é o tempo que o veículo leva para parar depois de acionados os freios, e é proporcional à velocidade do veículo antes da frenagem (desaceleração constante).

Para determinadas condições padrão do veículo e da via, foi construída uma tabela que informa o tempo necessário para parar, dependendo da velocidade pela qual o veículo trafega. Segundo essa tabela, a uma velocidade de 50\ \text{km/h}, são necessários 9\ \text{s} para parar o veículo, enquanto, a 90\ \text{km/h}, são necessários 15\ \text{s}.

De acordo com estes dados, determine qual é o tempo de reação do condutor considerado e calcule a distância percorrida pelo veículo, inicialmente com velocidade constante de 90\ \text{km/h}, do momento em que o condutor percebe o obstáculo, até a parada do veículo.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

1º semestre · 2º dia · Matemática: Função afim

O tempo necessário para um veículo parar, em uma situação de emergência, é, normalmente, calculado pela soma de dois componentes: o tempo de reação do condutor e o tempo de frenagem. O primeiro, considerado constante, é o tempo médio decorrido desde o momento em que o condutor percebe o obstáculo até o momento em que os freios são acionados e entram em funcionamento. O tempo de frenagem é o tempo que o veículo leva para parar depois de acionados os freios, e é proporcional à velocidade do veículo antes da frenagem (desaceleração constante).

Para determinadas condições padrão do veículo e da via, foi construída uma tabela que informa o tempo necessário para parar, dependendo da velocidade pela qual o veículo trafega. Segundo essa tabela, a uma velocidade de 50\ \text{km/h}, são necessários 9\ \text{s} para parar o veículo, enquanto, a 90\ \text{km/h}, são necessários 15\ \text{s}.

De acordo com estes dados, determine qual é o tempo de reação do condutor considerado e calcule a distância percorrida pelo veículo, inicialmente com velocidade constante de 90\ \text{km/h}, do momento em que o condutor percebe o obstáculo, até a parada do veículo.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Denotando por t_r e t_f os tempos de reação e frenagem, respectivamente, e por v a velocidade do veículo antes de iniciar a frenagem, de acordo com o enunciado, o tempo necessário para parar o veículo é t_r + t_f com t_f = kv, para alguma constante de proporcionalidade k, de forma que o tempo para parar é t_r + kv, ou seja, uma função afim da velocidade. De acordo com os dados fornecidos, tem-se duas equações

\begin{cases} t_r + k \cdot 50 = 9 \\ t_r + k \cdot 90 = 15 \end{cases}

Resolvendo-se o sistema, obtém-se t_r = 1{,}5\text{ s}.

Dividindo-se a velocidade de 90\text{ km/h} por 3{,}6, obtém-se o seu equivalente em metros por segundo, ou seja, 25\text{ m/s}. Durante o tempo de reação do condutor, o veículo continua com a velocidade de 25\text{ m/s}, logo, em 1{,}5\text{ s}, percorre 37{,}5\text{ m}. Iniciada a frenagem, o veículo leva 15 - 1{,}5 = 13{,}5\text{ s} para parar, em movimento uniformemente variado, uma vez que o tempo de frenagem é proporcional à velocidade. Desta forma, para determinar a aceleração, basta dividir a variação na velocidade pelo intervalo de tempo, ou seja,

a = \frac{-25}{13{,}5}

Assim, a distância percorrida durante a frenagem é

\Delta s = v_0 t + \frac{a t^2}{2} = 25 \cdot 13{,}5 - \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{13{,}5} \cdot 13{,}5^2 = \frac{25 \cdot 13{,}5}{2} = 168{,}75\text{ m}

que, acrescentada aos 37{,}5\text{ m} percorridos durante a reação do condutor, totalizam 206{,}25\text{ m}.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Seja T(v) o tempo total para parar, com v em km/h. Ele é a soma do tempo de reação t_r (constante) com o tempo de frenagem, proporcional a v:

T(v)=t_r+k\,v

Tempo de reação

Usando os dois dados da tabela:

9=t_r+50k
15=t_r+90k

Subtraindo a primeira da segunda: 40k=6, logo k=0{,}15\ \text{s}/(\text{km/h}).

Substituindo na primeira: t_r=9-50\cdot 0{,}15=9-7{,}5=1{,}5\ \text{s}.

Distância percorrida a 90 km/h

Primeiro convertemos a velocidade: 90\ \text{km/h}=25\ \text{m/s}.

Durante a reação, o veículo mantém a velocidade constante por 1{,}5\ \text{s}:

d_1=25\cdot 1{,}5=37{,}5\ \text{m}
Na frenagem, o tempo é 0{,}15\cdot 90=13{,}5\ \text{s} (confere: 15-1{,}5). A desaceleração é constante, então a velocidade média é \dfrac{25+0}{2}=12{,}5\ \text{m/s}:

d_2=12{,}5\cdot 13{,}5=168{,}75\ \text{m}

Distância total:

d=d_1+d_2=37{,}5+168{,}75=206{,}25\ \text{m}

O tempo de reação é 1{,}5\ \text{s} e a distância percorrida até parar é 206{,}25\ \text{m}.

Assuntos: Função afim, Razões especiais: velocidade, densidade e vazão.

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Questão 8 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗