PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 7 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013
Gerard Stenley Hawkins, matemático e físico, nos anos 1980, envolveu-se com o estudo dos misteriosos círculos que apareceram em plantações na Inglaterra. Ele verificou que certos círculos seguiam o padrão indicado na figura a seguir, isto é, três círculos congruentes, com centros nos vértices de um triângulo equilátero, tinham uma reta tangente comum.
Nestas condições, e considerando-se uma circunferência maior que passe pelos centros dos três círculos congruentes, calcule a razão entre o raio da circunferência maior e o raio dos círculos menores.
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Seja r o raio dos círculos congruentes e L o lado do triângulo equilátero formado pelos centros.
O círculo de cima fica acima da reta e tangencia a reta. Seu centro está a uma distância r da reta, para cima. Os dois círculos de baixo ficam abaixo da reta e também a tangenciam. Seus centros estão a uma distância r da reta, para baixo.
Logo, a altura do triângulo (distância do centro de cima à base formada pelos dois centros de baixo) é
No triângulo equilátero, h = \dfrac{L\sqrt{3}}{2}. Então
A circunferência maior passa pelos três centros, ou seja, é a circunscrita ao triângulo. Seu raio R é \dfrac{2}{3} da altura, pois o circuncentro coincide com o baricentro:
(Conferindo com R=\dfrac{L}{\sqrt3}=\dfrac{4r}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\dfrac{4r}{3}.)
Portanto,
Resposta: a razão é \dfrac{4}{3}.
Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Triângulos: congruência e pontos notáveis.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗