Questão 9 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

Uma fábrica de embalagens resolveu produzir um copo no formato de tronco de cone circular reto, com diâmetros superior e inferior de 6 cm e 4 cm, respectivamente. A parte central do fundo do copo é côncava, em formato de semiesfera, com 1,5 cm de raio, como indica a figura a seguir.

Copo no formato de tronco de cone circular reto com a base menor voltada para baixo. No fundo do copo, há uma elevação côncava em formato de semiesfera com indicação de raio medindo 1,5 cm.

Considerando-se o exposto, desenvolva a expressão que fornece o volume do tronco de cone em função da altura e dos raios das bases e calcule a altura aproximada desse copo para que ele tenha capacidade de 157 ml.

Dados: \pi \approx 3{,}14 V_{cone} = \dfrac{\pi R^2 H}{3} V_{esfera} = \dfrac{4\pi r^3}{3}

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

1º semestre · 2º dia · Matemática: Cone e tronco de cone

Uma fábrica de embalagens resolveu produzir um copo no formato de tronco de cone circular reto, com diâmetros superior e inferior de 6 cm e 4 cm, respectivamente. A parte central do fundo do copo é côncava, em formato de semiesfera, com 1,5 cm de raio, como indica a figura a seguir.

Copo no formato de tronco de cone circular reto com a base menor voltada para baixo. No fundo do copo, há uma elevação côncava em formato de semiesfera com indicação de raio medindo 1,5 cm.

Considerando-se o exposto, desenvolva a expressão que fornece o volume do tronco de cone em função da altura e dos raios das bases e calcule a altura aproximada desse copo para que ele tenha capacidade de 157 ml.

Dados: \pi \approx 3{,}14 V_{cone} = \dfrac{\pi R^2 H}{3} V_{esfera} = \dfrac{4\pi r^3}{3}

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Seccionando-se um cone circular reto paralelamente à sua base, obtém-se um tronco de cone, com altura H, e um cone menor, com altura h, semelhante ao cone maior. Desta forma, a altura do cone maior é H+h e, por semelhança de triângulos, obtém-se

\frac{H+h}{h} = \frac{R}{r} \Rightarrow h = \frac{H r}{R-r}

sendo R e r os raios dos cones maior e menor, respectivamente.

O volume, V_{TC}, do tronco de cone é a diferença entre os volumes dos dois cones, ou seja,

V_{TC} = \frac{\pi R^2 (H+h)}{3} - \frac{\pi r^2 h}{3} = \frac{\pi}{3} [R^2 H + h(R^2 - r^2)]

Substituindo o valor de h obtido anteriormente, obtém-se

V_{TC} = \frac{\pi H}{3}(R^2 + Rr + r^2)

Sendo o copo um tronco de cone com altura H e diâmetros 6 cm e 4 cm, tem-se

V_{TC} = \frac{\pi H}{3} (3^2 + 3 \cdot 2 + 2^2) = \frac{19\,\pi H}{3}

Deste volume deve ser subtraído o volume da semiesfera de raio 1,5 cm, dado por

V_{SE} = \frac{2\,\pi}{3} \left(\frac{3}{2}\right)^3 = 2{,}25\,\pi\text{ cm}^3

Como a capacidade do copo deve ser de 157 ml, o que equivale a um volume de 157\text{ cm}^3, tem-se

V_{TC} - V_{SE} = 157 \Rightarrow \pi \left(\frac{19\,H}{3} - 2{,}25\right) = 157 \Rightarrow H \approx 8{,}25

Desta forma, a altura do copo é de, aproximadamente, 8,25 cm.

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Resolução comentada

a) Para achar o volume do tronco, subtraia do cone grande (raio R, altura H) o cone pequeno que foi retirado (raio r, altura H-h), sendo h a altura do tronco.

Por semelhança dos cones: \dfrac{H-h}{H}=\dfrac{r}{R}, o que dá H=\dfrac{hR}{R-r} e H-h=\dfrac{hr}{R-r}.

Então:

V=\frac{\pi R^2H}{3}-\frac{\pi r^2(H-h)}{3}=\frac{\pi h}{3(R-r)}\left(R^3-r^3\right)

Como R^3-r^3=(R-r)(R^2+Rr+r^2):

V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)

Expressão pedida: V=\dfrac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2).

b) Os raios das bases são R=3\ \text{cm} e r=2\ \text{cm}, então:

V_{tronco}=\frac{\pi h}{3}(9+6+4)=\frac{19\pi h}{3}

O fundo é côncavo, ou seja, a semiesfera avança para dentro do copo e ocupa espaço que o líquido não pode ocupar. Ela tem raio 1{,}5 cm, que cabe na base de raio 2 cm. Seu volume é:

V_{semi}=\frac12\cdot\frac{4\pi(1{,}5)^3}{3}=2{,}25\pi\ \text{cm}^3

A capacidade é 157\ \text{ml}=157\ \text{cm}^3. Com \pi\approx3{,}14, tem-se 157=50\pi. Logo:

\dfrac{19\pi h}{3}-2{,}25\pi=50\pi
\dfrac{19h}{3}=52{,}25
h=\dfrac{156{,}75}{19}=8{,}25

A altura do copo é aproximadamente 8{,}25 cm.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Unidades de medida e conversões, Esfera.

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Questão 9 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗