Questão 14 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

Dois experimentos independentes foram realizados para estudar a propagação de um tipo de fungo que ataca as folhas das plantas de feijão. A distribuição das plantas na área plantada é uniforme, com a mesma densidade em ambos os experimentos.

No experimento A, inicialmente, 6% das plantas estavam atacadas pelo fungo e, quatro semanas depois, o número de plantas atacadas aumentou para 24%. Já no experimento B, a observação iniciou-se com 11% das plantas atacadas pelo fungo e, seis semanas depois, o número de plantas atacadas já era 85% do total.

Considerando-se que a área ocupada pelo fungo cresce exponencialmente, a fração da plantação atingida pelo fungo aumenta, semanalmente, em progressão geométrica, e a razão desta progressão é uma medida da rapidez de propagação do fungo.

Neste caso, determine em qual dos dois experimentos a propagação do fungo ocorre mais rapidamente.
(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2013

1º semestre · 1º dia · Matemática: Progressão geométrica

Dois experimentos independentes foram realizados para estudar a propagação de um tipo de fungo que ataca as folhas das plantas de feijão. A distribuição das plantas na área plantada é uniforme, com a mesma densidade em ambos os experimentos.

No experimento A, inicialmente, 6% das plantas estavam atacadas pelo fungo e, quatro semanas depois, o número de plantas atacadas aumentou para 24%. Já no experimento B, a observação iniciou-se com 11% das plantas atacadas pelo fungo e, seis semanas depois, o número de plantas atacadas já era 85% do total.

Considerando-se que a área ocupada pelo fungo cresce exponencialmente, a fração da plantação atingida pelo fungo aumenta, semanalmente, em progressão geométrica, e a razão desta progressão é uma medida da rapidez de propagação do fungo.

Neste caso, determine em qual dos dois experimentos a propagação do fungo ocorre mais rapidamente.
(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Se a fração atingida cresce em progressão geométrica semanal de razão q, então, depois de n semanas, ela fica multiplicada por q^n. A razão q mede a rapidez da propagação, então o plano é calcular q em cada experimento e comparar.

Experimento A: a fração vai de 6% para 24% em 4 semanas. Logo

q_A^4=\frac{24}{6}=4 \Rightarrow q_A=\sqrt{2}\approx 1{,}41.

Experimento B: a fração vai de 11% para 85% em 6 semanas. Logo

q_B^6=\frac{85}{11}\approx 7{,}73.

Os expoentes são diferentes (4 e 6), então coloco as duas razões num mesmo expoente. Elevando q_A à sexta potência:

q_A^6=(\sqrt{2})^6=2^3=8.

Como q_A^6=8>\dfrac{85}{11}=q_B^6 e a função x\mapsto x^6 é crescente para x>0, concluímos que q_A>q_B.

Conferindo: q_B=\left(\dfrac{85}{11}\right)^{1/6}\approx 1{,}40, que é menor que q_A\approx 1{,}41.

A razão da progressão é maior no experimento A, portanto o fungo se propaga mais rapidamente no experimento A (q_A=\sqrt{2}\approx1{,}41 contra q_B\approx1{,}40).

Assuntos: Progressão geométrica, Função exponencial.

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Questão 14 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗