Questão 12 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

Duas empresas de transporte concorrentes adotaram diferentes políticas de preços para um determinado tipo de transporte, em função da distância percorrida. Na empresa A, o preço é de R$ 3,00 fixos, mais R$ 1,50 por quilômetro rodado. Já a empresa B cobra R$ 8,00 fixos, mais R$ 0,10 multiplicados pelo quadrado da quilometragem rodada. Tendo em vista as informações apresentadas,

a) para um percurso de 20 km, qual das empresas tem o menor preço? (2,0 pontos)

b) Para quais distâncias a empresa B tem um preço menor do que a A? (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2013

2º semestre · 1º dia · Matemática: Inequações e desigualdades

Duas empresas de transporte concorrentes adotaram diferentes políticas de preços para um determinado tipo de transporte, em função da distância percorrida. Na empresa A, o preço é de R$ 3,00 fixos, mais R$ 1,50 por quilômetro rodado. Já a empresa B cobra R$ 8,00 fixos, mais R$ 0,10 multiplicados pelo quadrado da quilometragem rodada. Tendo em vista as informações apresentadas,

a) para um percurso de 20 km, qual das empresas tem o menor preço? (2,0 pontos)

b) Para quais distâncias a empresa B tem um preço menor do que a A? (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) O preço para percorrer 20 km pela empresa A é 3 + 1{,}5\times 20 = 33 reais; já pela empresa B, o preço é 8 + 0{,}1\times 20^2 = 48 reais. Logo, a empresa A tem o menor preço.

(2,0 pontos)

b) Para uma dada distância, x, a empresa B tem um preço menor que a A se

8 + 0{,}1x^2 < 3 + 1{,}5x

Mas isso é equivalente a dizer que 0{,}1x^2 - 1{,}5x + 5 < 0. Como o lado esquerdo é uma função quadrática da variável x, e o coeficiente do termo quadrático é positivo, esta função será negativa quando x estiver entre as raízes (zeros) da função. Neste caso, as raízes são dadas por

x = \frac{1{,}5 \pm \sqrt{1{,}5^2 - 4 \cdot 0{,}1 \cdot 5}}{2 \cdot 0{,}1} = 5 \text{ ou } 10

Portanto, a empresa B tem um preço menor que a A se a distância a ser percorrida estiver entre 5 e 10 km.

(3,0 pontos)

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Chamando de x a distância em km, os preços são P_A(x)=3+1{,}5x e P_B(x)=8+0{,}1x^2.

Para x=20:

P_A(20)=3+1{,}5\cdot 20=3+30=33, ou seja, R$ 33,00.
P_B(20)=8+0{,}1\cdot 400=8+40=48, ou seja, R$ 48,00.

Como 33<48, a empresa A cobra menos.

Empresa A (R$ 33,00, contra R$ 48,00 da B).

b) Queremos P_B(x)<P_A(x):

8+0{,}1x^2<3+1{,}5x

Passando tudo para um lado:

0{,}1x^2-1{,}5x+5<0

Multiplicando por 10 (número positivo, então o sinal da desigualdade se mantém):

x^2-15x+50<0

As raízes da equação x^2-15x+50=0 são:

x=\frac{15\pm\sqrt{225-200}}{2}=\frac{15\pm5}{2}\Rightarrow x=5\ \text{ou}\ x=10

A parábola tem concavidade para cima, então a expressão é negativa entre as raízes: 5<x<10.

Conferindo: em x=5 e em x=10 os preços são iguais (R$ 10,50 e R$ 18,00, respectivamente). Em x=6, P_B=11{,}60 e P_A=12{,}00, de fato menor para B.

A empresa B é mais barata para distâncias entre 5 km e 10 km, ou seja, 5<x<10.

Assuntos: Inequações e desigualdades, Função afim, Função quadrática.

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Questão 12 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗