Questão 12 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

A figura a seguir ilustra as três primeiras etapas da divisão de um quadrado de lado L em quadrados menores, com um círculo inscrito em cada um deles.

Três etapas da divisão de um quadrado de lado L em quadrados menores com círculos inscritos: Etapa 1 apresenta 1 círculo inscrito; Etapa 2 apresenta uma malha 2 por 2 com 4 círculos inscritos; Etapa 3 apresenta uma malha 4 por 4 com 16 círculos inscritos.

Sabendo-se que o número de círculos em cada etapa cresce exponencialmente, determine:

a) a área de cada círculo inscrito na n-ésima etapa dessa divisão; (2,0 pontos)

b) a soma das áreas dos círculos inscritos na n-ésima etapa dessa divisão. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

2º semestre · 2º dia · Matemática: Progressão geométrica

A figura a seguir ilustra as três primeiras etapas da divisão de um quadrado de lado L em quadrados menores, com um círculo inscrito em cada um deles.

Três etapas da divisão de um quadrado de lado L em quadrados menores com círculos inscritos: Etapa 1 apresenta 1 círculo inscrito; Etapa 2 apresenta uma malha 2 por 2 com 4 círculos inscritos; Etapa 3 apresenta uma malha 4 por 4 com 16 círculos inscritos.

Sabendo-se que o número de círculos em cada etapa cresce exponencialmente, determine:

a) a área de cada círculo inscrito na n-ésima etapa dessa divisão; (2,0 pontos)

b) a soma das áreas dos círculos inscritos na n-ésima etapa dessa divisão. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Denotando-se por L o lado do quadrado inicial, na etapa 1 o raio do círculo inscrito é L/2. Na etapa 2, o raio de cada círculo é \frac{L}{4} = \frac{L}{2^2} e na etapa 3 é \frac{L}{8} = \frac{L}{2^3}. Assim, os raios dos círculos decrescem em progressão geométrica de razão 1/2. Portanto, na etapa n, o raio de cada círculo inscrito é \frac{L}{2^n}. Logo, a área de cada círculo inscrito, na etapa n, é

\pi \left(\frac{L}{2^n}\right)^2 = \frac{\pi L^2}{2^{2n}}

(2,0 pontos)

b) A área do círculo inscrito em um quadrado de lado L é \pi L^2/4, de forma que, independentemente da etapa da divisão, cada círculo ocupa \pi/4 da área do quadrado em que está inscrito. Assim, a soma das áreas dos círculos obtidos na n-ésima etapa é igual \pi/4 da soma das áreas dos quadrados, ou seja, \pi/4 da área do quadrado original. Logo, a soma das áreas dos círculos independe da etapa e é igual a \pi L^2/4.

OU

Na etapa 1, tem-se apenas 1=4^0 círculo, na etapa 2, tem-se 4=4^1 círculos, na etapa 3 tem-se 16=4^2 círculos. O número de círculos cresce exponencialmente, logo forma uma progressão geométrica de razão 4, cujo termo inicial é 1. Assim, na n-ésima etapa, tem-se 4^{n-1} círculos inscritos. Dessa forma, a soma das áreas dos círculos inscritos é

4^{n-1} \frac{\pi L^2}{2^{2n}} = \frac{\pi L^2}{4}

(3,0 pontos)

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Resolução comentada

a) O número de círculos cresce exponencialmente: 1, 4, 16, ..., ou seja, 4^{n-1} círculos na etapa n. Isso corresponde a uma malha de 2^{n-1} por 2^{n-1} quadrados.

Cada quadrado menor tem lado

\ell_n = \frac{L}{2^{n-1}}

Como o círculo está inscrito no quadrado, seu diâmetro é igual ao lado do quadrado, e o raio é

r_n = \frac{L}{2\cdot 2^{n-1}} = \frac{L}{2^n}

A área de cada círculo é

A_n = \pi r_n^2 = \pi\,\frac{L^2}{4^n}

Conferindo: para n=1, A_1=\pi L^2/4, que é a área do círculo inscrito no quadrado de lado L. Correto.

Resposta: A_n = \dfrac{\pi L^2}{4^n}.

b) Na etapa n há 4^{n-1} círculos, todos com a área do item (a). A soma das áreas é

S_n = 4^{n-1}\cdot\frac{\pi L^2}{4^n} = \frac{\pi L^2}{4}

A soma não depende de n: o fator 4^{n-1} do número de círculos cancela a divisão por 4^n da área de cada um. Isso é coerente, pois os círculos sempre ocupam a mesma fração \pi/4 da área do quadrado, que é L^2.

Resposta: S_n = \dfrac{\pi L^2}{4}, para qualquer n.

Assuntos: Progressão geométrica, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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Questão 12 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗