Questão 11 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

Um método utilizado no balanceamento de reações químicas consiste em associar variáveis aos coeficientes de cada composto e igualar suas quantidades nos reagentes com as quantidades nos produtos, de modo a obter um sistema de equações lineares.

Por exemplo, a equação química que representa a reação de produção de sulfato de sódio é dada por

Na_2O + (NH_4)_2SO_4 \rightarrow Na_2SO_4 + H_2O + NH_3

Para o balanceamento da equação, utilizam-se coeficientes x, y, z, w e t, tais que

x\ Na_2O + y\ (NH_4)_2SO_4 \rightarrow z\ Na_2SO_4 + w\ H_2O + t\ NH_3

e, igualando-se as quantidades de cada componente nos dois lados da equação, obtém-se um sistema de equações nas variáveis x, y, z, w e t.

Para o exemplo apresentado acima,

a) represente matricialmente o sistema de equações lineares nas variáveis x, y, z, w e t; (2,0 pontos)

b) calcule os menores valores inteiros positivos de x, y, z, w e t, que resolvem o sistema. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

1º semestre · 2º dia · Matemática: Sistemas lineares

Um método utilizado no balanceamento de reações químicas consiste em associar variáveis aos coeficientes de cada composto e igualar suas quantidades nos reagentes com as quantidades nos produtos, de modo a obter um sistema de equações lineares.

Por exemplo, a equação química que representa a reação de produção de sulfato de sódio é dada por

Na_2O + (NH_4)_2SO_4 \rightarrow Na_2SO_4 + H_2O + NH_3

Para o balanceamento da equação, utilizam-se coeficientes x, y, z, w e t, tais que

x\ Na_2O + y\ (NH_4)_2SO_4 \rightarrow z\ Na_2SO_4 + w\ H_2O + t\ NH_3

e, igualando-se as quantidades de cada componente nos dois lados da equação, obtém-se um sistema de equações nas variáveis x, y, z, w e t.

Para o exemplo apresentado acima,

a) represente matricialmente o sistema de equações lineares nas variáveis x, y, z, w e t; (2,0 pontos)

b) calcule os menores valores inteiros positivos de x, y, z, w e t, que resolvem o sistema. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Da equação x\,\ce{Na2O} + y\,(\ce{NH4})_2\ce{SO4 ->} z\,\ce{Na2SO4} + w\,\ce{H2O} + t\,\ce{NH3} obtém-se o sistema linear

\begin{cases} 2x = 2z \\ 2y = t \\ y = z \\ x + 4y = 4z + w \\ 8y = 2w + 3t \end{cases}

cuja representação matricial é

\begin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -4 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 8 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

(2,0 pontos)

b) Resolvendo o sistema, obtém-se x = y = z = w e t = 2x.

Assim, após o balanceamento, a equação química pode ser representada por

x\,\ce{Na2O} + x\,(\ce{NH4})_2\ce{SO4 ->} x\,\ce{Na2SO4} + x\,\ce{H2O} + 2\,x\,\ce{NH3}

Para x = 1, obtém-se a equação balanceada com os menores inteiros positivos.

Portanto, x = y = z = w = 1 e t = 2.

(3,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Contamos cada elemento nos dois lados da equação e igualamos (reagentes = produtos):

Na: 2x = 2z
S: y = z
O: x + 4y = 4z + w
N: 2y = t
H: 8y = 2w + 3t

Passando tudo para o lado esquerdo e usando a ordem x, y, z, w, t, o sistema fica:

\begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -4 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 8 & 0 & -2 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \\ t \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Representação matricial: A\cdot X = 0, com A a matriz 5\times5 acima e X=(x\ y\ z\ w\ t)^T.

b) O sistema é homogêneo e tem infinitas soluções, então fixamos uma variável livre e resolvemos as demais.

Da equação do Na: x = z.
Da equação do S: y = z. Logo x = y = z.
Da equação do O: x + 4y = 4z + w. Com x=y=z, temos 5x = 4x + w, ou seja, w = x.
Da equação do N: t = 2y = 2x.
Conferindo a equação do H: 8y = 8x e 2w + 3t = 2x + 6x = 8x. Confere.

A solução geral é (x,y,z,w,t) = (k,k,k,k,2k), com k real. Os menores inteiros positivos ocorrem para k=1 (se k fosse fracionário, x não seria inteiro).

A equação balanceada fica \ce{Na2O + (NH4)2SO4 -> Na2SO4 + H2O + 2 NH3}.

x=1,\ y=1,\ z=1,\ w=1,\ t=2

Assuntos: Sistemas lineares, Matrizes e determinantes.

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Questão 11 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗