Questão 9 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

Question

Um detalhe arquitetônico, ocupando toda a base de um muro, é formado por uma sequência de 30 triângulos retângulos, todos apoiados sobre um dos catetos e sem sobreposição. A figura a seguir representa os três primeiros triângulos dessa sequência.

Três triângulos retângulos sombreados apoiados sobre um dos catetos ao longo da base, de mesma altura e bases crescentes, seguidos por reticências.

Todos os triângulos têm um metro de altura. O primeiro triângulo, da esquerda para a direita, é isósceles e a base de cada triângulo, a partir do segundo, é 10% maior que a do triângulo imediatamente à sua esquerda.

Com base no exposto,

a) qual é o comprimento do muro?
(3,0 pontos)

b) Quantos litros de tinta são necessários para pintar os triângulos do detalhe, utilizando-se uma tinta que rende 10\text{ m}^2 por litro?
(2,0 pontos)

Dado: 11^{30} \approx 1{,}745\times 10^{31}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

1º semestre · 2º dia · Matemática: Progressão geométrica

Um detalhe arquitetônico, ocupando toda a base de um muro, é formado por uma sequência de 30 triângulos retângulos, todos apoiados sobre um dos catetos e sem sobreposição. A figura a seguir representa os três primeiros triângulos dessa sequência.

Três triângulos retângulos sombreados apoiados sobre um dos catetos ao longo da base, de mesma altura e bases crescentes, seguidos por reticências.

Todos os triângulos têm um metro de altura. O primeiro triângulo, da esquerda para a direita, é isósceles e a base de cada triângulo, a partir do segundo, é 10% maior que a do triângulo imediatamente à sua esquerda.

Com base no exposto,

a) qual é o comprimento do muro?
(3,0 pontos)

b) Quantos litros de tinta são necessários para pintar os triângulos do detalhe, utilizando-se uma tinta que rende 10\text{ m}^2 por litro?
(2,0 pontos)

Dado: 11^{30} \approx 1{,}745\times 10^{31}

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Resolução comentada

a) Os triângulos têm altura de 1 m. O primeiro é retângulo e isósceles, então seus dois catetos são iguais: a base mede 1 m. A partir do segundo, cada base é 10% maior que a anterior, ou seja, é a anterior multiplicada por 1{,}1. As bases formam uma PG com a_1 = 1, razão q = 1{,}1 e n = 30 termos.

O comprimento do muro é a soma das 30 bases, pois os triângulos ocupam toda a base sem sobreposição:

S_{30}=\frac{a_1\,(q^{30}-1)}{q-1}=\frac{1{,}1^{30}-1}{0{,}1}=10\,(1{,}1^{30}-1)

Pelo dado do enunciado:

1{,}1^{30}=\frac{11^{30}}{10^{30}}\approx\frac{1{,}745\times10^{31}}{10^{30}}=17{,}45

Logo:

S_{30}\approx 10\,(17{,}45-1)=164{,}5\ \text{m}

O muro tem aproximadamente 164{,}5 m de comprimento.

b) Cada triângulo tem área \dfrac{b_i\cdot 1}{2}. Como a altura é a mesma (1 m) em todos, a área total pintada é metade da soma das bases:

A=\frac{1}{2}\,(b_1+b_2+\dots+b_{30})=\frac{164{,}5}{2}=82{,}25\ \text{m}^2

A tinta rende 10\ \text{m}^2 por litro, então:

\text{litros}=\frac{82{,}25}{10}=8{,}225\ \text{L}

São necessários aproximadamente 8{,}2 litros de tinta (8{,}225 L).

Assuntos: Progressão geométrica, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 9 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2012

Fonte: UFG 2ª etapa 2012 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗