Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2012

Question

Denotando por p(t) o tamanho de uma população no instante t, diz-se que p(t) cresce exponencialmente se houver uma constante \alpha tal que, para quaisquer dois instantes, t_1 e t_2,

\frac{p(t_2)}{p(t_1)} = \alpha^{t_2 - t_1}

Assim, se uma população cresce exponencialmente, a razão entre os tamanhos da população em dois instantes só depende do tempo decorrido entre eles, ou seja, da diferença t_2 - t_1. Uma consequência é que os tamanhos da população, em uma sequência de instantes igualmente espaçados, estarão em progressão geométrica.

Por exemplo, a população mundial em 1800 era de cerca de 800 milhões de pessoas, em 1850, cerca de 1.120 milhões e, em 1900, cerca de 1.570 milhões. Estes três números de população formam, aproximadamente, uma progressão geométrica, o que sugere um crescimento exponencial.

Com base nestes dados, se a população mundial estivesse, de fato, crescendo exponencialmente,

a) qual deveria ter sido a população mundial no ano 2000? (3,0 pontos)

b) Em que ano a população mundial deveria atingir 4 bilhões de pessoas?

Dados: \log 7 \approx 0{,}85 e \log 5 \approx 0{,}70

(2,0 pontos)

Answer 1

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Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2012

2º semestre · 1º dia · Matemática: Progressão geométrica

Denotando por p(t) o tamanho de uma população no instante t, diz-se que p(t) cresce exponencialmente se houver uma constante \alpha tal que, para quaisquer dois instantes, t_1 e t_2,

\frac{p(t_2)}{p(t_1)} = \alpha^{t_2 - t_1}

Assim, se uma população cresce exponencialmente, a razão entre os tamanhos da população em dois instantes só depende do tempo decorrido entre eles, ou seja, da diferença t_2 - t_1. Uma consequência é que os tamanhos da população, em uma sequência de instantes igualmente espaçados, estarão em progressão geométrica.

Por exemplo, a população mundial em 1800 era de cerca de 800 milhões de pessoas, em 1850, cerca de 1.120 milhões e, em 1900, cerca de 1.570 milhões. Estes três números de população formam, aproximadamente, uma progressão geométrica, o que sugere um crescimento exponencial.

Com base nestes dados, se a população mundial estivesse, de fato, crescendo exponencialmente,

a) qual deveria ter sido a população mundial no ano 2000? (3,0 pontos)

b) Em que ano a população mundial deveria atingir 4 bilhões de pessoas?

Dados: \log 7 \approx 0{,}85 e \log 5 \approx 0{,}70

(2,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Segundo o modelo de crescimento exponencial,

\frac{p(2000)}{p(1900)} = \alpha^{100} = \frac{p(1900)}{p(1800)} \Rightarrow p(2000) = \frac{p(1900)^2}{p(1800)} = \frac{(1570 \times 10^6)^2}{800 \times 10^6} \approx 3{,}08 \times 10^9

(3,0 pontos)

b) O momento, t, em que a população atinge 4 bilhões é tal que

\alpha^{t-1800} = \frac{p(t)}{p(1800)} = \frac{4 \times 10^9}{8 \times 10^8} = 5 \Rightarrow t - 1800 = \frac{\log 5}{\log \alpha}

Por outro lado,

\alpha^{50} = \frac{p(1850)}{p(1800)} = \frac{1120 \times 10^6}{800 \times 10^6} = 1{,}4

\Rightarrow 50 \log \alpha = \log 1{,}4 = \log \frac{7}{5} = \log 7 - \log 5 = 0{,}15 \Rightarrow \log \alpha = 0{,}003

Assim,

t - 1800 = \frac{0{,}7}{0{,}003} = \frac{700}{3} \approx 233{,}33 \Rightarrow t \approx 2033{,}33

Portanto, se o crescimento fosse exponencial desde 1800, a população deveria atingir 4 bilhões de indivíduos no ano de 2033.

(2,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Em crescimento exponencial, a razão entre as populações em instantes separados por 50 anos é sempre a mesma, \alpha^{50}. Pelos dados:

\frac{1120}{800}=1{,}4=\frac{7}{5}\qquad \frac{1570}{1120}\approx 1{,}4

Logo \alpha^{50}=\dfrac{7}{5}. De 1900 a 2000 passam-se 100 anos, ou seja, 2 períodos de 50 anos:

p(2000)=1570\cdot\left(\frac{7}{5}\right)^2=1570\cdot 1{,}96\approx 3077\ \text{milhões}

Partindo de 1800 com 800 milhões (4 períodos), 800\cdot 1{,}4^4\approx 3073 milhões, valor praticamente igual. A população deveria ser de cerca de 3,1 bilhões de pessoas (≈ 3.077 milhões).

b) Tomando 1800 como referência, com p(1800)=800 milhões, e chamando de n o número de períodos de 50 anos decorridos:

800\cdot\left(\frac{7}{5}\right)^n=4000\ \Rightarrow\ \left(\frac{7}{5}\right)^n=5

Aplicando logaritmo decimal:

n\,(\log 7-\log 5)=\log 5\ \Rightarrow\ n=\frac{0{,}70}{0{,}85-0{,}70}=\frac{0{,}70}{0{,}15}=\frac{14}{3}

O tempo decorrido é 50\cdot\dfrac{14}{3}\approx 233 anos. Então 1800+233=2033.

A população atingiria 4 bilhões por volta do ano 2033.

Assuntos: Progressão geométrica, Logaritmos e função logarítmica.

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Questão 16 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2012

Fonte: UFG 2ª etapa 2012 · 2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗