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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

2º semestre · 2º dia · Física: Força magnética

Uma pequena esfera de massa m e carga elétrica q é lançada por uma mola de constante elástica k sobre um plano horizontal sem atrito, com o objetivo de alcançar o detector no ponto \text{Q} a uma distância d da região que se inicia a deflexão. Para ajustar a direção do movimento até o detector, a esfera é submetida a um campo magnético uniforme B, em uma região delimitada por um ângulo \theta, conforme representado na figura a seguir.

Esquema mostrando uma esfera ligada a uma mola de constante k sendo lançada horizontalmente até um ponto P na borda vertical de uma região angular de abertura θ preenchida por um campo magnético uniforme B apontando para fora do plano. A trajetória da esfera dentro do campo é um arco de circunferência com deflexão que a faz sair perpendicularmente à outra borda do setor em direção ao ponto Q, situado a uma distância horizontal d da base da fronteira vertical.

Considerando-se apenas os parâmetros fornecidos, calcule:

a) a velocidade da esfera;

(3,0 pontos)

b) a compressão x da mola necessária para atingir o ponto Q.

(2,0 pontos)

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a) Fora do campo a esfera se move em linha reta. Dentro dele, a força magnética é perpendicular à velocidade, então a trajetória é um arco de circunferência de raio R = \dfrac{mv}{qB}.

Para achar R, localize o centro do arco pela geometria:

  1. Em P a velocidade é horizontal, perpendicular à fronteira vertical. O raio em P é perpendicular à velocidade, logo o centro está sobre a reta vertical.
  2. Na saída a velocidade é perpendicular à fronteira inclinada. O raio é perpendicular à velocidade, logo o centro está sobre a fronteira inclinada.

O centro é então o vértice A do ângulo \theta, no cruzamento das duas fronteiras. Assim R = AP, e o ponto de saída E está a AE = R do vértice.

Depois de sair, a esfera segue em linha reta por EQ, perpendicular à fronteira inclinada. O triângulo AEQ é retângulo em E, com hipotenusa AQ = d. A fronteira inclinada faz \theta com a vertical, ou seja, 90^\circ-\theta com a horizontal AQ. Então:

R = AE = d\cos(90^\circ-\theta) = d\,\sen\theta

Igualando os dois valores de R:

\frac{mv}{qB} = d\,\sen\theta \;\Rightarrow\; v=\frac{qBd\,\sen\theta}{m}

v = \dfrac{qBd\,\sen\theta}{m}

b) O plano é sem atrito, então a energia elástica da mola vira toda energia cinética da esfera. O campo magnético não realiza trabalho, e a velocidade em P é a mesma de antes de entrar no campo:

\frac{kx^2}{2}=\frac{mv^2}{2}\;\Rightarrow\; x=v\sqrt{\frac{m}{k}}

Substituindo v do item (a):

x=\frac{qBd\,\sen\theta}{m}\sqrt{\frac{m}{k}}=\frac{qBd\,\sen\theta}{\sqrt{mk}}

x = \dfrac{qBd\,\sen\theta}{\sqrt{mk}}

Assuntos: Força magnética, Energia mecânica e sua conservação.

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Ver como caiu na prova Questão 1 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2012

Fonte: UFG 2ª etapa 2012 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗