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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

1º semestre · 2º dia · Matemática: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão

Em portões elétricos com cremalheira, um trilho dentado retilíneo preso ao portão é movimentado por uma engrenagem cilíndrica de dentes retos, fixada diretamente ao eixo de um motor elétrico, como mostra a figura a seguir.

Ilustração de um motor para portão elétrico com uma engrenagem cilíndrica acoplada a um trilho dentado retilíneo (cremalheira).

Disponível em: <www.grupoassuncao.com.br/canais/dicas/detalhes.asp?codDica=8>. Acesso em: 7 nov. 2011.

Para um projeto de portão elétrico do tipo descrito, a relação entre o raio, R, em milímetros, e o número de dentes, Z, da engrenagem é dada por uma função afim, conforme o gráfico a seguir.

Gráfico de uma função afim em um plano cartesiano com eixo vertical R e eixo horizontal Z. Um segmento de reta liga o ponto com Z = 10 e R = 36 ao ponto com Z = 30 e R = 96.

Para um portão de testes, utilizando-se uma engrenagem com 15 dentes e um motor com potência útil de 200\text{ W}, a velocidade de deslizamento do portão foi de 0{,}2\text{ m/s}. Neste caso, qual é o momento da força (torque) deste motor em newton metro?
(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Primeiro, achamos o raio da engrenagem com 15 dentes pela função afim R = aZ + b que passa pelos pontos (10;\,36) e (30;\,96).

  1. Coeficiente angular: a = \dfrac{96-36}{30-10} = \dfrac{60}{20} = 3.
  2. Coeficiente linear: 36 = 3\cdot 10 + b \Rightarrow b = 6.
  3. Logo R(Z) = 3Z + 6, e para Z = 15: R = 3\cdot 15 + 6 = 51\ \text{mm} = 0{,}051\ \text{m}.

Agora a física. O trilho se move sem deslizar sobre a engrenagem, então a velocidade do portão é igual à velocidade linear de um ponto da borda da engrenagem: v = \omega R. Assim:

\omega = \frac{v}{R} = \frac{0{,}2}{0{,}051} = \frac{200}{51}\ \text{rad/s} \approx 3{,}92\ \text{rad/s}

A potência útil do motor relaciona-se com o torque por P = \tau\,\omega. Então:

\tau = \frac{P}{\omega} = \frac{200}{200/51} = 51\ \text{N·m}

Conferindo por outro caminho: P = F v \Rightarrow F = 200/0{,}2 = 1000\ \text{N}, e \tau = F R = 1000\cdot 0{,}051 = 51\ \text{N·m}.

O torque do motor é 51\ \text{N·m}.

Assuntos: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão, Unidades de medida e conversões, Função afim.

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Ver como caiu na prova Questão 12 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2012

Fonte: UFG 2ª etapa 2012 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗