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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2012

1º semestre · 2º dia · Matemática: Cilindro

Um posto de gasolina possui um reservatório cilíndrico horizontal com dimensões internas de 2 metros de diâmetro por 10 metros de comprimento. O posto iniciou as vendas do dia com o reservatório cheio de gasolina. Após uma hora, verificou-se que o nível de gasolina no reservatório havia baixado meio metro, como representado na figura a seguir.

Esquema de um reservatório cilíndrico na horizontal com diâmetro indicado de 2 m e comprimento de 10 m. Uma parte superior do reservatório, de altura 1/2 m, está vazia, enquanto o restante está preenchido.

Diante do exposto, determine quantos litros de gasolina foram vendidos nesse período de uma hora.

(5,0 pontos)

Dados: \pi \approx 3{,}14
\sqrt{3} \approx 1{,}73
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Resolução comentada

a)

A gasolina vendida é o volume que ficou vazio. Ele é um cilindro de 10 m de comprimento cuja base é o segmento circular de altura \frac{1}{2} m, no topo da seção circular de raio 1 m.

  1. A distância do centro da circunferência à corda é 1-\frac12=\frac12 m.
  2. Chame de \alpha o ângulo central que subtende a corda. Então \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{1/2}{1}=\frac12, logo \frac{\alpha}{2}=60^\circ e \alpha=120^\circ.
  3. Área do setor circular de 120^\circ: \dfrac{1}{3}\pi r^2=\dfrac{\pi}{3}.
  4. Área do triângulo formado pelo centro e pelas extremidades da corda: \dfrac12 r^2\,\sen 120^\circ=\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{4}.
  5. Área do segmento circular (setor menos triângulo):
A=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4}\approx\frac{3{,}14}{3}-\frac{1{,}73}{4}\approx 1{,}0467-0{,}4325\approx 0{,}6142\ \text{m}^2
  1. Volume vazio, multiplicando pelo comprimento:
V=0{,}6142\cdot 10\approx 6{,}14\ \text{m}^3

Como 1\ \text{m}^3=1000\ \text{L}, temos V\approx 6140\ \text{L}. Mais precisamente, 6141{,}67\ \text{L}\approx 6142\ \text{L}.

Foram vendidos aproximadamente 6{,}14\ \text{m}^3, ou seja, cerca de 6142 litros de gasolina.

Assuntos: Cilindro, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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Ver como caiu na prova Questão 11 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2012

Fonte: UFG 2ª etapa 2012 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗