PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 8 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011
O mosaico plano apresentado a seguir foi construído a partir de octógonos regulares.
O menor lado do mosaico mede L, como mostra a figura. Assim, calcule a área de um octógono desse mosaico em função de L.
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Resolução comentada
a)
Observe na figura que o lado menor do mosaico tem duas fileiras de octógonos, um sobre o outro, encostados por um lado horizontal. Logo L é o dobro da distância entre dois lados paralelos opostos de um octógono (o "apótema duplo").
Seja a o lado do octógono regular. Cada ângulo interno mede 135^\circ. Entre dois lados paralelos opostos, a distância é formada por:
- um lado horizontal, de medida a;
- duas projeções verticais dos lados inclinados, cada uma de medida a\cos 45^\circ = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}.
Portanto a distância é a + a\sqrt2 = a(1+\sqrt2). Como são dois octógonos empilhados:
A área do octógono é a do quadrado de lado d = a(1+\sqrt2) menos quatro triângulos retângulos isósceles dos cantos, de catetos \dfrac{a\sqrt2}{2}:
Substituindo a^2 = \dfrac{L^2(3-2\sqrt2)}{4}:
pois (1+\sqrt2)(3-2\sqrt2) = 3-2\sqrt2+3\sqrt2-4 = \sqrt2-1.
Conferindo: A \approx 0{,}207\,L^2, menor que a área do quadrado circunscrito, (L/2)^2 = 0{,}25\,L^2, como deveria ser.
A = \dfrac{(\sqrt2-1)L^2}{2}
Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Teorema de Pitágoras e relações métricas.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗