Questão 9 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

A figura plana apresentada a seguir representa um boiadeiro no ponto B que decide cavalgar até um ponto P, localizado na margem de uma represa, para deixar seu cavalo beber água, antes de ir até o curral, no ponto C.

Em cada um dos percursos retilíneos BP e PC, o boiadeiro consegue manter uma velocidade constante de cavalgada, porém, depois de beber água, o cavalo fica mais lento, e a velocidade no percurso PC é a metade da velocidade no percurso BP.

Considerando que o ponto P pertence ao segmento AD, qual deve ser a medida de AP para que o tempo gasto em cada um dos dois percursos seja o mesmo?
(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

2º semestre · 2º dia · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

A figura plana apresentada a seguir representa um boiadeiro no ponto B que decide cavalgar até um ponto P, localizado na margem de uma represa, para deixar seu cavalo beber água, antes de ir até o curral, no ponto C.

Em cada um dos percursos retilíneos BP e PC, o boiadeiro consegue manter uma velocidade constante de cavalgada, porém, depois de beber água, o cavalo fica mais lento, e a velocidade no percurso PC é a metade da velocidade no percurso BP.

Considerando que o ponto P pertence ao segmento AD, qual deve ser a medida de AP para que o tempo gasto em cada um dos dois percursos seja o mesmo?
(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Sendo v a velocidade do cavalo no percurso CP e t o tempo gasto em cada um dos percursos, tem-se que

2v = \frac{BP}{t} \fam0 \rightarrow t = \frac{BP}{2v}

E, no percurso CP,

v = \frac{CP}{t} \fam0 \rightarrow t = \frac{CP}{v}

Assim, dessas duas equações, obtém-se

\frac{BP}{2\text{v}} = \frac{CP}{v} \fam0 \rightarrow CP = \frac{BP}{2}

Utilizando-se o teorema de Pitágoras nos triângulos ABP e CDP, pode-se escrever a relação anterior em função de AP:

CP = \frac{BP}{2} \fam0 \rightarrow \fam0 \textstyle \root \fam0 \textstyle \relax 9 + (4 - AP)^{2} = \frac{\textstyle \root \fam0 \textstyle \relax 36 + AP^{2}}{2}

De onde obtém-se a seguinte equação do 2º grau:

3 AP^{2} - 32 AP + 64 = 0

que tem como soluções:

AP = 8 \quad \text{ou} \quad AP = \frac{8}{3} \fam0 \textstyle \thicksim 2{,}7

Como o ponto P está entre A e D e AD = 4\text{ km}, tem-se

AP = \frac{8}{3} \fam0 \textstyle \thicksim 2{,}7\text{ km}

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Ponha a reta da margem como eixo horizontal, com A na origem. Assim AP = x e AD = d.

Passo 1: achar AD. Os segmentos AB = 6 e DC = 3 são perpendiculares à margem. Logo, a diferença de altura entre B e C é 6-3=3 km. No triângulo retângulo de hipotenusa BC=5, o outro cateto é AD:

AD^2 + 3^2 = 5^2 \Rightarrow AD = 4\ \text{km}.

Passo 2: condição dos tempos. Seja v a velocidade em BP. Em PC ela vale v/2. Tempos iguais significam:

\frac{BP}{v}=\frac{PC}{v/2} \Rightarrow BP = 2\,PC.

Passo 3: usar Pitágoras. Com AP = x e PD = 4-x:

BP^2 = x^2+36,\qquad PC^2=(4-x)^2+9.

Elevando BP = 2PC ao quadrado, BP^2 = 4\,PC^2:

x^2+36 = 4\left[(4-x)^2+9\right] = 4x^2-32x+100

3x^2-32x+64=0.

O discriminante é \Delta = 1024-768 = 256, então

x=\frac{32\pm16}{6}\Rightarrow x=8 \ \text{ou}\ x=\frac{8}{3}.

Como P está no segmento AD, devemos ter 0\le x\le 4. Isso descarta x=8.

Conferência: para x=8/3, BP^2 = 64/9+36 = 388/9 e PC^2 = 16/9+9 = 97/9. Como 4\cdot 97/9 = 388/9, a condição BP^2 = 4\,PC^2 é satisfeita.

\mathbf{AP = \dfrac{8}{3}\ \text{km} \approx 2{,}67\ \text{km}}

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Equação do 2º grau.

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Questão 9 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗