Questão 8 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

Resolução comentada

a) A moeda é um cilindro de raio R = 10\ \text{mm} e altura h = 3\ \text{mm}. Em cada face há um rebaixo em forma de prisma heptagonal regular, inscrito no círculo da face, com 1 mm de profundidade.

O rebaixo não muda a área das bases. O fundo do rebaixo é um heptágono igual ao que foi "retirado" da face, então a área do círculo se mantém. O que o rebaixo acrescenta são as 7 paredes laterais, que também são banhadas.

A área total é a soma de três partes:

1. Superfície lateral do cilindro: 2\pi R h = 2\pi \cdot 10 \cdot 3 = 60\pi\ \text{mm}^2.
2. Duas bases (círculo, contando o fundo do rebaixo no lugar do heptágono retirado): 2\pi R^2 = 200\pi\ \text{mm}^2.
3. Paredes laterais dos dois rebaixos: cada uma tem 7 retângulos de lado \ell por 1 mm de profundidade.

O lado \ell do heptágono regular inscrito vem do triângulo isósceles formado por dois raios e um lado, com ângulo central 2\pi/7:

Cada rebaixo tem perímetro 7\cdot 8 = 56\ \text{mm}, e área de parede 56\cdot 1 = 56\ \text{mm}^2. Para os dois rebaixos: 112\ \text{mm}^2.

Somando:

A área a ser banhada é 928{,}4\ \text{mm}^2.

Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Áreas e perímetros de polígonos, Cilindro.

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