Questão 9 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

Uma técnica para criptografar mensagens utiliza a multiplicação de matrizes. Um codificador transforma sua mensagem numa matriz M, com duas linhas, substituindo cada letra pelo número correspondente à sua ordem no alfabeto, conforme modelo apresentado a seguir.

Letra	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z	_
Número	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27

Por exemplo, a palavra SENHAS ficaria assim:

M=\begin{bmatrix} S & E & N \\ H & A & S \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 19 & 5 & 14 \\ 8 & 1 & 19 \end{bmatrix}

Para codificar, uma matriz 2\times 2, A, é multiplicada pela matriz M, resultando na matriz E=A\times M, que é a mensagem codificada a ser enviada.

Ao receber a mensagem, o decodificador precisa reobter M para descobrir a mensagem original. Para isso, utiliza uma matriz 2\times 2, B, tal que B\times A=I, onde I é a matriz identidade (2\times 2). Assim, multiplicando B por E, obtém-se B\times E = B\times A\times M = M.

Uma palavra codificada, segundo esse processo, por uma matriz A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} resultou na matriz

E=\begin{bmatrix} 47 & 30 & 29 \\ 28 & 21 & 22 \end{bmatrix}

Calcule a matriz B, decodifique a mensagem e identifique a palavra original.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

1º semestre · 2º dia · Matemática: Matrizes e determinantes

Uma técnica para criptografar mensagens utiliza a multiplicação de matrizes. Um codificador transforma sua mensagem numa matriz M, com duas linhas, substituindo cada letra pelo número correspondente à sua ordem no alfabeto, conforme modelo apresentado a seguir.

Letra	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z	_
Número	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27

Por exemplo, a palavra SENHAS ficaria assim:

M=\begin{bmatrix} S & E & N \\ H & A & S \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 19 & 5 & 14 \\ 8 & 1 & 19 \end{bmatrix}

Para codificar, uma matriz 2\times 2, A, é multiplicada pela matriz M, resultando na matriz E=A\times M, que é a mensagem codificada a ser enviada.

Ao receber a mensagem, o decodificador precisa reobter M para descobrir a mensagem original. Para isso, utiliza uma matriz 2\times 2, B, tal que B\times A=I, onde I é a matriz identidade (2\times 2). Assim, multiplicando B por E, obtém-se B\times E = B\times A\times M = M.

Uma palavra codificada, segundo esse processo, por uma matriz A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} resultou na matriz

E=\begin{bmatrix} 47 & 30 & 29 \\ 28 & 21 & 22 \end{bmatrix}

Calcule a matriz B, decodifique a mensagem e identifique a palavra original.

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Considerando B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, para que BA = I, tem-se

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a+b & a+b \\ 2c+d & c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

que é equivalente a dois sistemas de equações:

\begin{cases} 2a+b = 1 \\ a+b = 0 \end{cases} \quad \text{e} \quad \begin{cases} 2c+d = 0 \\ c+d = 1 \end{cases}

De onde obtém-se a = 1, b = -1, c = -1 e d = 2, ou seja,

B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}

Para decodificar a palavra, basta calcular

BE = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 47 & 30 & 29 \\ 28 & 21 & 22 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 9 & 7 \\ 9 & 12 & 15 \end{bmatrix}

que, pelos valores numéricos das letras, corresponde à matriz

\begin{bmatrix} S & I & G \\ I & L & O \end{bmatrix}

Portanto, a palavra original é SIGILO. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Cálculo de B

Como B\times A=I, a matriz B é a inversa de A. Para A=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}:

\det A = 2\cdot1-1\cdot1=1

A inversa de uma matriz 2\times2 troca de lugar os elementos da diagonal principal, troca o sinal dos elementos da diagonal secundária e divide tudo pelo determinante:

B=\frac{1}{1}\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}

Conferência: B\times A=\begin{bmatrix}1\cdot2-1\cdot1 & 1\cdot1-1\cdot1\\ -2+2 & -1+2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}.

Decodificação

Agora calculamos M=B\times E:

1ª linha de M: 47-28=19; 30-21=9; 29-22=7.
2ª linha de M: -47+2\cdot28=9; -30+2\cdot21=12; -29+2\cdot22=15.

M=\begin{bmatrix}19&9&7\\9&12&15\end{bmatrix}

Pela tabela, 19=S, 9=I, 7=G, 9=I, 12=L, 15=O. Como no exemplo (SENHAS), a palavra é lida linha por linha: primeiro S, I, G e depois I, L, O.

Resposta: B=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}, M=\begin{bmatrix}S&I&G\I&L&O\end{bmatrix} e a palavra original é SIGILO.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Questão 9 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗