Questão 16 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

Quando um antibiótico é ingerido, é absorvido pelo organismo e eliminado gradativamente. Denotando por q_0 a quantidade do antibiótico no organismo do paciente num instante t_0, a função que descreve a quantidade, em um instante posterior t, com t - t_0 em horas, enquanto não houver nova ingestão do antibiótico, é

q(t) = 2^{-(t-t_0)/2} q_0

Havendo ingestão de antibiótico, soma-se a quantidade ingerida à quantidade já presente no organismo e, a partir daí, a quantidade decresce com o tempo segundo a função acima.

Considere o tratamento de uma infecção com cápsulas de 500 mg desse antibiótico, ingeridas em intervalos regulares, sendo uma cápsula a cada x horas.

Para conveniência do paciente, x deve ser um número par de horas e, para que o tratamento seja eficaz, a quantidade de antibiótico no organismo do paciente deve ficar acima de 60 mg durante todo o tratamento. Nestas condições,

a) que quantidade do antibiótico da primeira cápsula, em mg, restará no organismo duas horas após sua ingestão?
(2,0 pontos)

b) Qual é o maior número par x (intervalo entre as cápsulas) para que o tratamento seja eficaz?
(3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2011

1º semestre · 1º dia · Matemática: Função exponencial

Quando um antibiótico é ingerido, é absorvido pelo organismo e eliminado gradativamente. Denotando por q_0 a quantidade do antibiótico no organismo do paciente num instante t_0, a função que descreve a quantidade, em um instante posterior t, com t - t_0 em horas, enquanto não houver nova ingestão do antibiótico, é

q(t) = 2^{-(t-t_0)/2} q_0

Havendo ingestão de antibiótico, soma-se a quantidade ingerida à quantidade já presente no organismo e, a partir daí, a quantidade decresce com o tempo segundo a função acima.

Considere o tratamento de uma infecção com cápsulas de 500 mg desse antibiótico, ingeridas em intervalos regulares, sendo uma cápsula a cada x horas.

Para conveniência do paciente, x deve ser um número par de horas e, para que o tratamento seja eficaz, a quantidade de antibiótico no organismo do paciente deve ficar acima de 60 mg durante todo o tratamento. Nestas condições,

a) que quantidade do antibiótico da primeira cápsula, em mg, restará no organismo duas horas após sua ingestão?
(2,0 pontos)

b) Qual é o maior número par x (intervalo entre as cápsulas) para que o tratamento seja eficaz?
(3,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Na primeira cápsula, q_0 = 500\ \text{mg} e t - t_0 = 2 h. Substituindo na função dada:

q = 2^{-2/2}\cdot 500 = \frac{1}{2}\cdot 500 = 250\ \text{mg}

Restarão 250 mg.

b) Entre duas ingestões, a quantidade só diminui. Logo, o menor valor ocorre sempre um instante antes de cada nova cápsula.

Seja r = 2^{-x/2} o fator de decaimento em x horas. Os valores imediatamente antes de cada nova cápsula são:

Antes da 2ª cápsula: 500r.
Antes da 3ª cápsula: (500 + 500r)\,r = 500(r + r^2).
Antes da 4ª cápsula: 500(r + r^2 + r^3), e assim por diante.

Essa sequência é crescente, porque a cada passo se soma uma parcela positiva. Portanto, o mínimo de todo o tratamento é 500r, o valor logo antes da 2ª cápsula.

A condição de eficácia é:

500\cdot 2^{-x/2} > 60 \;\Rightarrow\; 2^{x/2} < \frac{500}{60} \approx 8{,}33

Como 2^3 = 8 < 8{,}33 < 16 = 2^4, precisamos de \dfrac{x}{2} \le 3, ou seja, x \le 6.

Conferindo os valores pares:

x = 6: 500\cdot 2^{-3} = 62{,}5\ \text{mg} > 60. Serve.
x = 8: 500\cdot 2^{-4} = 31{,}25\ \text{mg} < 60. Não serve.

O maior intervalo par é x = 6 horas.

Assuntos: Função exponencial, Progressão geométrica.

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Questão 16 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗