Questão 15 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

Uma garrafa e um copo de bebida serão transportados em uma bandeja circular com massa uniformemente distribuída. A garrafa, quando vazia, tem massa de 300 g, e o copo vazio tem 100 g. Dos 600 mL de bebida, originalmente na garrafa, 200 mL foram despejados no copo e o restante permanece na garrafa, sendo que a densidade da bebida é de 1\text{ g/cm}^3. Considere que, para cada recipiente, com ou sem bebida, a massa fica simetricamente distribuída em torno de uma reta perpendicular à base do recipiente, passando pelo centro desta.

Sejam c a distância do centro da base do copo ao centro da bandeja e d a distância do centro da base da garrafa ao centro da bandeja.

Com base nestas informações, qual deve ser a razão entre c e d para que o conjunto fique equilibrado quando a bandeja é sustentada com a mão sob seu centro? (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2011

1º semestre · 1º dia · Matemática: Razão e proporção

Uma garrafa e um copo de bebida serão transportados em uma bandeja circular com massa uniformemente distribuída. A garrafa, quando vazia, tem massa de 300 g, e o copo vazio tem 100 g. Dos 600 mL de bebida, originalmente na garrafa, 200 mL foram despejados no copo e o restante permanece na garrafa, sendo que a densidade da bebida é de 1\text{ g/cm}^3. Considere que, para cada recipiente, com ou sem bebida, a massa fica simetricamente distribuída em torno de uma reta perpendicular à base do recipiente, passando pelo centro desta.

Sejam c a distância do centro da base do copo ao centro da bandeja e d a distância do centro da base da garrafa ao centro da bandeja.

Com base nestas informações, qual deve ser a razão entre c e d para que o conjunto fique equilibrado quando a bandeja é sustentada com a mão sob seu centro? (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Para que o conjunto fique equilibrado, os dois recipientes devem ser colocados em lados opostos do centro da bandeja, com os três centros colineares.

[Figura: Esquema de uma barra horizontal sobre um apoio triangular no centro. À esquerda do apoio, a uma distância c, há uma força vertical para baixo com intensidade 300\,g. À direita do apoio, a uma distância d, há uma força vertical para baixo com intensidade 700\,g.]

Para equilibrar o momento das forças peso do copo e da garrafa com relação ao ponto de apoio no centro da bandeja, o peso de cada recipiente com bebida multiplicado por sua distância ao centro da bandeja deve dar o mesmo resultado para os dois recipientes. Então, se m é a massa do copo com a bebida, M a massa da garrafa com bebida e g a aceleração gravitacional, é necessário que

m\,g\,c = M\,g\,d

Assim, como

m = 100 + 200 = 300\text{ g} \qquad \text{e} \qquad M = 300 + 400 = 700\text{ g}

Tem-se que

m\,c = M\,d \implies 300\,c = 700\,d

ou seja,

\frac{c}{d} = \frac{7}{3}

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Para a bandeja ficar equilibrada sobre a mão, apoiada no centro, o centro de massa do conjunto precisa estar sobre o centro da bandeja. A bandeja tem massa uniforme, então o centro de massa dela já está nesse ponto e não entra na conta. Resta equilibrar garrafa e copo, que ficam em lados opostos do centro, alinhados com ele. Como a massa de cada recipiente é simétrica em torno do eixo que passa pelo centro da base, cada um pode ser tratado como uma massa concentrada sobre esse eixo.

Massas (densidade de 1 g/cm³, ou seja, 1 mL = 1 g):

Garrafa: restam 600-200=400\ \text{mL} de bebida, ou seja, 400\ \text{g}. Massa total: 300+400=700\ \text{g}.
Copo: 100+200=300\ \text{g}.

Condição de equilíbrio (soma dos momentos em relação ao centro igual a zero):

700\cdot d = 300\cdot c

\frac{c}{d}=\frac{700}{300}=\frac{7}{3}

O copo, mais leve, fica mais longe do centro que a garrafa, como esperado.

Razão c/d = 7/3.

Assunto: Razão e proporção.

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Questão 15 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗