Questão 12 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

Seguindo as instruções de uma planta residencial, um mestre de obras construiu um jardim em formato de setor circular, representado por ACD na figura a seguir.

Setor circular ACD, com raio AD e arco CD sombreado. Estão representados dois triângulos retângulos: o triângulo ABC, com ângulo reto em B contido no segmento AD e vértice C no arco; e o triângulo ADE, com ângulo reto em D e vértice E no prolongamento do segmento AC.

Considere que o raio AD mede 4 m e o ângulo central \hat{A} mede 30^\circ. Como precisava calcular a área do jardim, o mestre de obras utilizou uma aproximação por meio do seguinte processo: construiu dois triângulos, ABC e ADE, como mostra a figura, e calculou a média aritmética de suas áreas.

Considerando os dados apresentados, calcule, em \text{m}^2, a diferença entre a área do setor circular ACD e a aproximação encontrada pelo mestre de obras.

Dados:
\pi = 3{,}14
\sqrt{3} = 1{,}73

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2011

2º semestre · 1º dia · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Seguindo as instruções de uma planta residencial, um mestre de obras construiu um jardim em formato de setor circular, representado por ACD na figura a seguir.

Setor circular ACD, com raio AD e arco CD sombreado. Estão representados dois triângulos retângulos: o triângulo ABC, com ângulo reto em B contido no segmento AD e vértice C no arco; e o triângulo ADE, com ângulo reto em D e vértice E no prolongamento do segmento AC.

Considere que o raio AD mede 4 m e o ângulo central \hat{A} mede 30^\circ. Como precisava calcular a área do jardim, o mestre de obras utilizou uma aproximação por meio do seguinte processo: construiu dois triângulos, ABC e ADE, como mostra a figura, e calculou a média aritmética de suas áreas.

Considerando os dados apresentados, calcule, em \text{m}^2, a diferença entre a área do setor circular ACD e a aproximação encontrada pelo mestre de obras.

Dados:
\pi = 3{,}14
\sqrt{3} = 1{,}73

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a)

Primeiro calculamos a área do setor. Com r = 4\ \text{m} e \theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6}:

A_{setor} = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}\cdot 16\cdot\frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}

Depois calculamos as áreas dos dois triângulos retângulos. Em ambos, o ângulo em A vale 30^\circ.

Triângulo ABC: a hipotenusa é AC = 4 (raio). Então BC = 4\,\sen 30^\circ = 2 e AB = 4\cos 30^\circ = 2\sqrt{3}. A área é \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2 = 2\sqrt{3}.
Triângulo ADE: AD = 4 e DE = 4\,\tg 30^\circ = \frac{4\sqrt{3}}{3}. A área é \frac{1}{2}\cdot 4\cdot\frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}.

A aproximação do mestre de obras é a média aritmética dessas áreas:

A_{aprox} = \frac{1}{2}\left(2\sqrt{3} + \frac{8\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{14\sqrt{3}}{3} = \frac{7\sqrt{3}}{3}

A diferença pedida é:

A_{setor} - A_{aprox} = \frac{4\pi - 7\sqrt{3}}{3}

Substituindo \pi = 3{,}14 e \sqrt{3} = 1{,}73:

\frac{4\cdot 3{,}14 - 7\cdot 1{,}73}{3} = \frac{12{,}56 - 12{,}11}{3} = \frac{0{,}45}{3} = 0{,}15

A área do setor é cerca de 4{,}19\ \text{m}^2 e a aproximação dá cerca de 4{,}04\ \text{m}^2.

A diferença é de 0{,}15\ \text{m}^2.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Áreas e perímetros de polígonos, Trigonometria no triângulo retângulo.

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Questão 12 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗